7.1.2 复数的几何意义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

 

 

 

7．1．2　复数的几何意义　　　　　► 对应学生用书P50

[课程标准]　理解复数的几何意义．

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

一、复数的几何意义

1．复平面

(1)定义：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．

(2)实轴：x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数．

(3)虚轴：y轴叫做虚轴．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的两种几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.

想一想：1.实数与数轴上的点有什么关系？

2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若复数确定，其实部与虚部是否确定？反过来，一个复数的实部和虚部确定，这个复数是否确定？

提示：1.实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．

2．复数确定，其实部与虚部也就确定；反之，一个复数的实部和虚部确定了，这个复数也确定．

二、复数的模

1．定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.

2．求法：|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.

3．模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0，0)的距离．

记一记：(1)复数、点、向量之间的关系如图所示．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi).

(3)复数z的模从几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离．

三、共轭复数

1．共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

2．共轭虚数：虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

3．表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi．

记一记：(1)复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．

(2)一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|＝||.

【基点小试】

1．复数－1＋i在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析：选B.复数－1＋i在复平面内对应的点为(－1，1)，故在第二象限．

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，

－2)，则z＝(　　)

A．2＋i     B．2－i

C．1＋2i    D．1－2i

解析：选D.∵复数z对应的点的坐标是(1，－2)，∴z＝1－2i.

3．复数4－2i的模等于(　　)

A．2    B．    C．2    D．20

解析：选C.|4－2i|＝＝2.

4．在复平面内，复数z＝－2＋3i，则对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析：选C.因为z＝－2＋3i，所以＝－2－3i，所以对应的点为(－2，－3)，

故对应的点位于第三象限．

5．复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)的共轭复数＝________．

解析：由两个复数实部相等，虚部相反，可得共轭复数＝1－i.

答案：1－i

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　复数与复平面内点的关系

例1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点满足下列条件．分别求实数m的取值范围．

(1)在虚轴上；

(2)在第二象限；

(3)在直线y＝x上．

解：(1)∵复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点为(m2－m－2，m2－3m＋2)，

由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.

(2)由题意得

∴∴－1＜m＜1.

(3)由题得m2－m－2＝m2－3m＋2，

∴m＝2.

[母题探究]　1.(变条件)在本例前提下，若复数对应的点在实轴上，求实数m的值．

解：由题意，需m2－3m＋2＝0，解得m＝2或m＝1.

2．(变条件)在本例前提下，若复数对应的点在第一或第三象限，求实数m的范围．

解：由题意，需