7.1.2 复数的几何意义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7．1．2　复数的几何意义　　　　　► 对应学生用书P50 [课程标准]　理解复数的几何意义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、复数的几何意义 1．复平面 (1)定义：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴：x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数． (3)虚轴：y轴叫做虚轴．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 想一想：1.实数与数轴上的点有什么关系？ 2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若复数确定，其实部与虚部是否确定？反过来，一个复数的实部和虚部确定，这个复数是否确定？ 提示：1.实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 2．复数确定，其实部与虚部也就确定；反之，一个复数的实部和虚部确定了，这个复数也确定． 二、复数的模 1．定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 2．求法：|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 3．模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0，0)的距离． 记一记：(1)复数、点、向量之间的关系如图所示． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi). (3)复数z的模从几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离． 三、共轭复数 1．共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 2．共轭虚数：虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 3．表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． 记一记：(1)复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称． (2)一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|＝||. 【基点小试】 1．复数－1＋i在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.复数－1＋i在复平面内对应的点为(－1，1)，故在第二象限． 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1， －2)，则z＝(　　) A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i 解析：选D.∵复数z对应的点的坐标是(1，－2)，∴z＝1－2i. 3．复数4－2i的模等于(　　) A．2 B． C．2 D．20 解析：选C.|4－2i|＝＝2. 4．在复平面内，复数z＝－2＋3i，则对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.因为z＝－2＋3i，所以＝－2－3i，所以对应的点为(－2，－3)， 故对应的点位于第三象限． 5．复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)的共轭复数＝________． 解析：由两个复数实部相等，虚部相反，可得共轭复数＝1－i. 答案：1－i 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　复数与复平面内点的关系 例1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点满足下列条件．分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y＝x上． 解：(1)∵复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点为(m2－m－2，m2－3m＋2)， 由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1. (2)由题意得 ∴∴－1＜m＜1. (3)由题得m2－m－2＝m2－3m＋2， ∴m＝2. [母题探究]　1.(变条件)在本例前提下，若复数对应的点在实轴上，求实数m的值． 解：由题意，需m2－3m＋2＝0，解得m＝2或m＝1. 2．(变条件)在本例前提下，若复数对应的点在第一或第三象限，求实数m的范围． 解：由题意，需 或 即 或解得m的范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)或(1，2). [总结] 　利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示． 【练一练】 1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象