7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第七章 复　数 7．1　复数的概念　　　　　　► 对应学生用书P48 7．1．1　数系的扩充和复数的概念 [课程标准]　1.通过方程的解，认识复数．　2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、复数的有关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． 2．复数集 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． 3．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 记一记：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． 二、复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． 想一想：1.3i一定比2i大，这个说法正确吗？ 2．任意两个复数均不能比较大小，这个说法正确吗？ 提示：1.不正确，纯虚数不能比较大小． 2．不正确，当两个复数均为实数时，可以比较大小． 三、复数的分类 1．复数(a＋bi，a，b∈R)可以分类如下： 复数 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【基点小试】 1．复数1－i的虚部是(　　) A．－1 B．－i C．i D．1 解析：选A.因为复数为1－i，所以它的实部为1；虚部为－1. 2．设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝3，b＝1 C．a＝0，b＝1 D．a＝1，b＝3 解析：选C.由a＋1＋bi＝1＋i可得解得 3．(2022·重庆清华中学高一检测)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为________． 解析：复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则解得m＝1. 答案：1 4．在复数1－2i，2＋，i，－5＋i，0，7＋(－2)i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？ 解：0，2＋为实数；1－2i，i，－5＋i，7＋i为虚数；i为纯虚数． 对于1－2i，实部为1，虚部为－2； 对于i，实部为0，虚部为； 对于－5＋i，实部为－5，虚部为； 对于7＋i，实部为7，虚部为－2. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　复数的相关概念 例1.给出下列几个命题： ①若z∈C，则z2≥0； ②2i－1虚部是2i； ③2i的实部是0； ④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集； ⑥－1的平方根是±i. 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D.令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确． ②中2i－1的虚部应是2，故②不正确． ④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确， ∴只有③⑤⑥正确． [总结] 　复数概念的几个关注点 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部． (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 【练一练】 1．(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数 解析：选ABD.A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数． B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n. C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数． 题型二　两个复数相等 例2.分别求满足下列条件的实数x，y的值． (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i； (2)＋(x2－2x－3)i＝0. 解：(1)因为x，y∈R，2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， 则有解得 (2)因为x∈R，＋(x2－2x－3)i＝0，于是得解得x＝3. [总结] 　复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据