7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第七章   复　数

7．1　复数的概念　　　　　　► 对应学生用书P48

7．1．1　数系的扩充和复数的概念

[课程标准]　1.通过方程的解，认识复数．　2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义．

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一、复数的有关概念

1．复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．

2．复数集

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．

3．复数的表示

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．

记一记：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非bi.

(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．

二、复数相等

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．

想一想：1.3i一定比2i大，这个说法正确吗？

2．任意两个复数均不能比较大小，这个说法正确吗？

提示：1.不正确，纯虚数不能比较大小．

2．不正确，当两个复数均为实数时，可以比较大小．

三、复数的分类

1．复数(a＋bi，a，b∈R)可以分类如下：

复数

2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

【基点小试】

1．复数1－i的虚部是(　　)

A．－1    B．－i

C．i       D．1

解析：选A.因为复数为1－i，所以它的实部为1；虚部为－1.

2．设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则(　　)

A．a＝1，b＝1    B．a＝3，b＝1

C．a＝0，b＝1    D．a＝1，b＝3

解析：选C.由a＋1＋bi＝1＋i可得解得

3．(2022·重庆清华中学高一检测)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为________．

解析：复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则解得m＝1.

答案：1

4．在复数1－2i，2＋，i，－5＋i，0，7＋(－2)i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？

解：0，2＋为实数；1－2i，i，－5＋i，7＋i为虚数；i为纯虚数．

对于1－2i，实部为1，虚部为－2；

对于i，实部为0，虚部为；

对于－5＋i，实部为－5，虚部为；

对于7＋i，实部为7，虚部为－2.

 

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题型一　复数的相关概念

例1.给出下列几个命题：

①若z∈C，则z2≥0；

②2i－1虚部是2i；

③2i的实部是0；

④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

⑤实数集的补集是虚数集；

⑥－1的平方根是±i.

其中真命题的个数为(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

解析：选D.令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．

②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．

④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，

∴只有③⑤⑥正确．

[总结] 　复数概念的几个关注点

(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部．

(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．

(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

【练一练】

1．(多选)下列说法中，错误的是(　　)

A．复数由实数、虚数、纯虚数构成

B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n

C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数

D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数

解析：选ABD.A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．

B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n.

C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z