第6章末总结（六）平面向量及其应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

章末总结　(六)平面向量及其应用　　► 对应学生用书P44

　高频考点聚焦

考点一　平面向量的线性运算

平面的线性运算主要包括向量的加法、减法和数乘运算，常结合平面向量基本定理用已知向量分解向量、向量关系式的化简与证明、三点共线的证明与应用等，难度中等或中低等．

例1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足＝，＝2，记＝a，＝b，试以a，b为平面向量的一组基底，利用向量的有关知识解决下列问题：

(1)用a，b来表示向量与；

(2)若|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝，求||.

解：(1)∵在平行四边形ABCD中，＝，＝2，

∴＝＋＝＋＝－＝a－b，＝＋＝＋＝－＝b－a.

(2)由(1)可知：＝－，＝－，

∴2＝＝2－·＋2，

∵|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝，

∴()2＝22－×2×3×cos ∠BAD＋×32，

∴cos ∠BAD＝，

∴2＝＝2－·＋2＝32－3×2×cos ∠BAD＋×22＝9－6×＋1＝7.

∴||＝.

【练一练】

1.(2023·湖北宜昌高一检测)如图，在△ABC中，已知点D在BC上满足＝2，点M是AD的中点，过M作直线l交AB，AC于P，Q两点，记＝λ，＝μ，且λ>0，μ>0.

(1)试用，的线性运算结果分别表示有向线段与；

(2)求λ＋2μ的最小值，并写出取等号的条件．

解：(1)由＝2得－＝2－2，则＝＋，

又＝，所以＝＋，

(2)由已知＝λ，＝μ，得＝，＝，

∴＝＋，

由P，M，Q共线，则＋＝1.

故λ＋2μ＝(λ＋2μ)·＝＋＋＋≥＋2＝＋＝，

当且仅当λ＝μ＝时取等号，

∴λ＋2μ最小值为.

考点二　平面向量的数量积公式及其应用

平面向量的数量积是平面向量的核心知识，也是高考重点，公式有线性运算和坐标运算两种形式．常考题型有求平面向量的数量积或范围、模长问题、垂直问题、夹角问题等，解题时注意观察条件，看能否应用坐标运算．有些条件中虽然没有出现坐标，但图形比较容易建系，转化为坐标运算更易解决问题．

例2.(1)(2023·广东广州一模)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上

(包括端点)，则·的取值范围是____________．

(2)(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为____________，(＋)·的最小值为________________．

解析：(1)如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系．

因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，则B，C，D，A.

因为点P在BC边上(包括端点)，所以P，其中t∈.

所以＝，＝，所以·＝2t＋2.

因为t∈，所以·＝2t＋2∈.

(2)设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，

∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，

∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，

∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，

∴|2＋|＝1，

∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5＋，