第6章末总结（六）平面向量及其应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

章末总结　(六)平面向量及其应用　　► 对应学生用书P44 　高频考点聚焦 考点一　平面向量的线性运算 平面的线性运算主要包括向量的加法、减法和数乘运算，常结合平面向量基本定理用已知向量分解向量、向量关系式的化简与证明、三点共线的证明与应用等，难度中等或中低等． 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足＝，＝2，记＝a，＝b，试以a，b为平面向量的一组基底，利用向量的有关知识解决下列问题： (1)用a，b来表示向量与； (2)若|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝，求||. 解：(1)∵在平行四边形ABCD中，＝，＝2， ∴＝＋＝＋＝－＝a－b，＝＋＝＋＝－＝b－a. (2)由(1)可知：＝－，＝－， ∴2＝＝2－·＋2， ∵|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝， ∴()2＝22－×2×3×cos ∠BAD＋×32， ∴cos ∠BAD＝， ∴2＝＝2－·＋2＝32－3×2×cos ∠BAD＋×22＝9－6×＋1＝7. ∴||＝. 【练一练】 1.(2023·湖北宜昌高一检测)如图，在△ABC中，已知点D在BC上满足＝2，点M是AD的中点，过M作直线l交AB，AC于P，Q两点，记＝λ，＝μ，且λ>0，μ>0. (1)试用，的线性运算结果分别表示有向线段与； (2)求λ＋2μ的最小值，并写出取等号的条件． 解：(1)由＝2得－＝2－2，则＝＋， 又＝，所以＝＋， (2)由已知＝λ，＝μ，得＝，＝， ∴＝＋， 由P，M，Q共线，则＋＝1. 故λ＋2μ＝(λ＋2μ)·＝＋＋＋≥＋2＝＋＝， 当且仅当λ＝μ＝时取等号， ∴λ＋2μ最小值为. 考点二　平面向量的数量积公式及其应用 平面向量的数量积是平面向量的核心知识，也是高考重点，公式有线性运算和坐标运算两种形式．常考题型有求平面向量的数量积或范围、模长问题、垂直问题、夹角问题等，解题时注意观察条件，看能否应用坐标运算．有些条件中虽然没有出现坐标，但图形比较容易建系，转化为坐标运算更易解决问题． 例2.(1)(2023·广东广州一模)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上(包括端点)，则·的取值范围是____________． (2)(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为____________，(＋)·的最小值为________________． 解析：(1)如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系． 因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，则B，C，D，A. 因为点P在BC边上(包括端点)，所以P，其中t∈. 所以＝，＝，所以·＝2t＋2. 因为t∈，所以·＝2t＋2∈. (2)设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB， ∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x， ∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF， ∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1， ∴|2＋|＝1， ∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5＋， 所以当x＝时，(＋)·的最小值为. 答案：(1)　　(2)1　　 【练一练】 2．已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈R. (1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值； (2)当θ∈时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围． 解：(1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直， 所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1. 所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝. (2)由|a＋b|＝|ma|，得|a＋b|2＝|ma|2，即|a|2＋2a·b＋3|b|2＝m2|a|2， 即4＋2a·b＋3＝4m2，即7＋2(cos θ＋sin θ)＝4m2， 所以4sin ＝4m2－7. 由θ∈，得θ＋∈， 因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4sin ∈[6，4)，即6≤4m2－7<4，即≤m2<， 又m>0，所以≤m<. 即实数m的取值范围为. 考点三　应用正弦定理、余弦定理解三角形 应用正弦、余弦定理解三角形是重要考点，高考常命制解答题．主要考查利用正弦、余弦定理进行边角互化，求解平面图形中的边长、角，求三角形或四边形的面积大小或范围等，常与三角恒等变换结合，难度中等或中低等．此知识点还时常以结构不良的开放型问题呈现． 例3.(2023·福建