6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例　► 对应学生用书P41

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

实际测量中的有关名称、术语

 

【基点小试】

1．如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10 n mile至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10 n mile至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶__________ n mile 至海岛C.(　　 )

A.北偏东60°，10

B．北偏东30°，10

C．北偏东40°，10

D．北偏东20°，10

解析：选C.由题意得∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，

所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝102＋102－200×＝300，故AC＝10.

2．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　 )

A．500 m     B．200 m

C．1 000 m    D．1 000 m

解析：选D.∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，

在△ABS中，AB＝＝＝1 000(m)，

∴BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m).

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　测量距离问题

例1.(1)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，某运营商准备在东北某地地面建设如图所示的四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10 km.基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为(　　 )

A．10 km        B．30(－1)km

C．30(－1)km    D．10 km

解析：选D.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，

所以∠CAD＝30°，∠BCD＝45°，所以∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10，

在△BDC中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，

由正弦定理，得BC＝＝5＋5，

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠BCA＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5＋5)cos 75°＝500，

所以AB＝10，即两个基站A，B之间的距离为10 km.

(2)海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．

解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°，

由正弦定理，可得＝，

所以BC＝5(n mile).

答案：5 n mile

[母题探究]　(变条件)在本例第(2)题中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？

解：由已知得，在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300，故BC＝10，

即B，C间的距离为10 n mile.

[总结] 　测量距离问题的基本类型及解决方案