6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例　► 对应学生用书P41 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【基点小试】 1．如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10 n mile至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10 n mile至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶__________ n mile 至海岛C.(　　 ) A.北偏东60°，10 B．北偏东30°，10 C．北偏东40°，10 D．北偏东20°，10 解析：选C.由题意得∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°， 所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝102＋102－200×＝300，故AC＝10. 2．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　 ) A．500 m B．200 m C．1 000 m D．1 000 m 解析：选D.∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS中，AB＝＝＝1 000(m)， ∴BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m). 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　测量距离问题 例1.(1)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，某运营商准备在东北某地地面建设如图所示的四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10 km.基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为(　　 ) A．10 km B．30(－1)km C．30(－1)km D．10 km 解析：选D.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°， 所以∠CAD＝30°，∠BCD＝45°，所以∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10， 在△BDC中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理，得BC＝＝5＋5， 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠BCA＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5＋5)cos 75°＝500， 所以AB＝10，即两个基站A，B之间的距离为10 km. (2)海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________． 解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°， 由正弦定理，可得＝， 所以BC＝5(n mile). 答案：5 n mile [母题探究]　(变条件)在本例第(2)题中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？ 解：由已知得，在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可． BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300，故BC＝10， 即B，C间的距离为10 n mile. [总结] 　测量距离问题的基本类型及解决方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC， ∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 【练一练】 1．某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，公路上距观察站B 31 km的C处有一人正沿公路向城