6.4.3 第1课时 余弦定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．4．3　余弦定理、正弦定理　　　　　► 对应学生用书P35

[课程标准]　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定

理．　2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．

第一课时　余弦定理

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

1．余弦定理

2.三角形的元素与解三角形

(1)三角形的元素

三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

想一想：已知A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一个点C，通过测量计算得AC，BC的长度和∠ACB的大小，你能据此求出AB吗？

提示：在△ABC中，利用余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB cos ∠ACB，代入数值计算并开方即可．

【基点小试】

1．在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝(　　 )

A．1      B．2

C．    D．

解析：选D.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12＋22－2×1×2×＝3，

∴ b＝.

2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，b＝7，c＝5，则sin C＝(　　 )

A．      B．

C．     D．

解析：选C.因为a＝6，b＝7，c＝5，

所以cos C＝＝＝，

则C为锐角，故sin C＝＝.

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　已知两边及一角解三角形

例1.(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　 )

A．4    B．

C．3    D．

解析：选D.cos C＝－cos (A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.

(2)(2023·福建三明一中高一检测)在△ABC中，BC＝8，CA＝7，B＝60°，则AB＝(　　 )

A．2        B．3

C．2或5    D．3或5

解析：选D.由条件可知，a＝BC＝8，b＝AC＝7，B＝60°，

由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos 60°，即c2－8c＋64＝49，得c2－8c＋15＝0，

解得c＝3或c＝5，即AB＝3或5.

[总结] 　已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．

(1)若已知角是给出两边的夹角，直接运用余弦定理求出第三边，再由余弦定理和三角形

内角和定理求其他角．

(2)若已知角是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解．

【练一练】

1．在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC＝(　　 )

A．2    B．3

C．6       D．

解析：选B.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠ACB，

故49＝25＋BC2－2×5×BC×，

即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去).

题型二　已知三边或三边关系解三角形

例2.(1)(2023·湖南长沙高一检测)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，CA＝4，则·＝(　　 )

A．－    B．－

C．       D．

(2)△ABC的三边长之比为4∶5∶6，则最小角和最大角之和的余弦值为(　　 )

A．－     B．

C．－    D．

解析：(1)由余弦定理，可得cos B＝＝－，

所以·＝×cos ＝2×3×＝.

(2)由题意不妨设a＝4m，b＝5m，c＝6m，

则cos B＝＝＝＝，

所以cos (A＋C)＝cos (π－B)＝－cos B＝－，

所以最小角和最大角之和的余弦值为－.

答案：(1)C　(2)C