6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

 

6．3．5　平面向量数量积的坐标表示　　► 对应学生用书P27

[课程标准]　1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．　2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

1．平面向量数量积的坐标表示

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

2．平面向量模的坐标形式

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝．

(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝．

3．平面向量垂直的充要条件的坐标表示

设a，b是非零向量，a＝，b＝，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

4．平面向量夹角的坐标表示

设a，b都是非零向量，a＝，b＝，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝．

记一记：1.与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)，则a0＝(，).

2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量b在向量a方向上投影的数量的坐标形式为.

【基点小试】

1．(多选)已知向量a＝，b＝，则(　　 )

A．a－2b＝

B．＝2

C．⊥b

D．a与b的夹角为

解析：选BC.对于A，a－2b＝－2＝，A错；

对于B，＝2，＝1，则＝2，B对；

对于C，a·b＝－1，故·b＝a·b＋b2＝－1＋1＝0，所以⊥b，C对；

对于D，cos 〈a，b〉＝＝－，

∵0≤〈a，b〉≤π，故〈a，b〉＝，D错．

2．已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝，e2＝．

(1)求a·b，；

(2)求a与b的夹角的余弦值．

解：(1)因为e1＝，e2＝，所以a＝，b＝，a＋b＝，

则a·b＝3×4＋×1＝10，＝＝5.

(2)由(1)得＝＝，|b|＝＝，

 

所以cos 〈a，b〉＝＝＝.

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　平面向量数量积的坐标运算

角度1　已知向量的坐标求数量积

例1.已知a＝，b＝，c＝，分别求下列各式的值：

(1)a·b；(2)·；(3)a·；(4).

解：(1)a·b＝·＝－4＋12＝8.

(2)·＝·＝0－7＝－7.

(3)a·＝·＝－6＋6＝0.

(4)a＋b＝，所以＝49.

[总结] 　平面向量数量积运算的途径及注意点

(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．

角度2　以几何图形为背景的数量积的坐标运算

 

例2.在Rt△ABC中，BC＝1，斜边AB＝2，点P满足＝2，则·＝(　　)

A．－     B．

C．－    D．

解析：选A.如图建立直角坐标系，

则A(0，)，B(1，0)，C(0，0)，所以＝(1，－)，

设P(x，y)，则＝(－x，－y)，因为＝2，所以(1，－)＝2(－x，－y)，

解得x＝－，y＝，所以P，所以＝，＝，

所以·＝－＝－.

【练一练】

1．(2023·湖南师大附中高一检测)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为2的等边三角形，点P为边BD上一动点，则·的取值范围为(　　 )