6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．3．4　平面向量数乘运算的坐标表示　► 对应学生用书P24

[课程标准]　1.会用坐标表示平面向量的数乘运算．　2.能用坐标表示平面向量共线的条件．

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

一、平面向量数乘的坐标运算

若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝(λx1，λy1)．

文字语言描述为：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

二、平面向量共线的坐标表示

1．两向量共线的充要条件

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．

2．中点坐标公式

若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标是.

记一记：(1)两向量共线的充要条件可变形为x1y2＝x2y1，巧记为“外项积等于内项积”或“交叉相乘积相等”．

(2)两个向量共线的坐标表示还可以写成＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

【基点小试】

1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则2a－3b＝(　　)

A．(－8，3)    B．(－8，－3)

C．(8，3)      D．(8，－3)

解析：选C.由题意得2a－3b＝(2，6)－(－6，3)＝(8，3).

2．(2023·湖南邵东高一检测)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　 )

A．(1，－2)    B．(1，2)

C．(5，6)      D．(2，0)

解析：选A.因为向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，

所以b＝(3，2)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(1，－2).

3．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(1，2)，若a∥b，则实数x＝(　　 )

A．－2    B．5

C．     D．－5

解析：选C.∵a＝(x，1)，b＝(1，2)，a∥b，∴2x－1×1＝0，解得x＝.

4．判断下列各组中的向量是否平行：

(1)a＝(1，3)，b＝(2，4)；

(2)a＝(1，2)，b＝(，1).

解：法一　(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，

∴a与b不平行．

(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.

法二　(1)∵≠，∴a与b不平行．

(2)∵＝，∴a∥b.

 

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　平面向量数乘的坐标运算

例1.(1)已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：

①2a＋3b；②a－3b；③a－b.

解：①2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).

②a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).

③a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝.

(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．

解：法一(待定系数法)　由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，

＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，

所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，＝2＝2(6，3)＝(12，6).

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；

＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，所以M(0，20)，N(9，2)，

＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18).

法二(几何意义法)　设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，

可得－＝3(－)，－＝2(－)，

从而＝3－2，＝2－，

所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，

＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，

即点M(0，20)，N(9，2)，

故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18).

[总结] 　平面向量坐标运算的技巧

(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系；

(2)在进行平面向量坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算；

(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．

【练一练】

1．已知向量a＝，b＝，求下列向量的坐标：

(1)2a＋3b；(2)a－b.

解：(1)∵a＝(1，2)，b＝(3，1)，∴2a＋3b＝(2，4)＋(9，3)＝(11，7).

(2)∵a＝(1，2)，b＝(3，1)，∴a－b＝(1，2)－＝.

2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求＋2，－的坐标．