6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．3．2　平面向量的正交分解及坐标表示　► 对应学生用书P21

6．3．3　平面向量加、减运算的坐标表示

[课程标准]　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　2.会用坐标表示平面向量的加、减运算．

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一、平面向量坐标的相关概念

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．

2．平面向量的坐标表示

3．向量坐标与点的坐标的关系

在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标．

想一想：点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？

提示：

二、平面向量加、减的坐标运算

设向量a＝，b＝，

【基点小试】

1．若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a－b的坐标为(　　 )

A．(1，5)    B．(1，1)    C．(3，1)    D．(3，5)

解析：选C.a－b＝－＝.

2．已知向量a＝，b＝，则a＋b＝__________．

解析：a＋b＝＋＝.

答案：

3．根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.

解：由题可知：a＝2i＋3j＝，b＝－2i＋3j＝，

c＝－3i－2j＝，d＝3i－3j＝.

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题型一　平面向量的坐标表示

例1.(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为(　　)

A．(1，1)         B．(－1，－1)

C．(，)    D．(－，－)

(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是______．(填序号)

①向量a可以表示为a＝mi＋nj；

②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；

③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标．

解析：(1)由题意，a＝(cos 45° )i＋(sin 45° )j＝i＋j＝(1，1).

(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n使得a＝mi＋nj，所以①正确；

当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错误，③正确．

答案：(1)A　(2)①③

[总结] 　求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；

(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

【练一练】

1．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝－2e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝－e1，求a，b，c在以{e1，e2}为基底的坐标．

解：依题意e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝－2e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝－e1，所以a＝，b＝，c＝.

 

题型二　平面向量的坐标运算

例2.已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b.

(1)求a＋b－c；