6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．3．2　平面向量的正交分解及坐标表示　► 对应学生用书P21 6．3．3　平面向量加、减运算的坐标表示 [课程标准]　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　2.会用坐标表示平面向量的加、减运算． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、平面向量坐标的相关概念 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标表示 3．向量坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标． 想一想：点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 提示： 区 别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，α＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 二、平面向量加、减的坐标运算 设向量a＝，b＝， 数学公式 文字语言表述 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 重要 结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 【基点小试】 1．若向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，则a－b的坐标为(　　 ) A．(1，5) B．(1，1) C．(3，1) D．(3，5) 解析：选C.a－b＝－＝. 2．已知向量a＝，b＝，则a＋b＝__________． 解析：a＋b＝＋＝. 答案： 3．根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1. 解：由题可知：a＝2i＋3j＝，b＝－2i＋3j＝， c＝－3i－2j＝，d＝3i－3j＝. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　平面向量的坐标表示 例1.(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) (2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是______．(填序号) ①向量a可以表示为a＝mi＋nj； ②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)； ③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标． 解析：(1)由题意，a＝(cos 45° )i＋(sin 45° )j＝i＋j＝(1，1). (2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n使得a＝mi＋nj，所以①正确； 当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错误，③正确． 答案：(1)A　(2)①③ [总结] 　求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标； (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． 【练一练】 1．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝－2e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝－e1，求a，b，c在以{e1，e2}为基底的坐标． 解：依题意e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝－2e1＋e2，b＝3e1－e2，c＝－e1，所以a＝，b＝，c＝. 题型二　平面向量的坐标运算 例2.已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝c，＝b. (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 解：(1)依题意，a＝(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5)，b＝(－3，－4)－(3，－1)＝(－6，－3)，c＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， ∴a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16). (2)设O为坐标原点． ∵＝－＝c， ∴＝c＋＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)， ∴M(－2，4). 又∵＝－＝b. ∴＝b＋＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7). ∴N(－9，－7). ∴＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11). [总结] 　平