6.3.1 平面向量基本定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示　► 对应学生用书P18 6．3．1　平面向量基本定理 [课程标准]　理解平面向量基本定理及其意义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量 结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若向量e1，e2不共线，则{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 记一记：平面向量基本定理的关注点 ①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量； ②该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的； ③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底； ④定理的证明，课本中是用作图法证明了它的存在性，又用反证法证明了它的唯一性． 【基点小试】 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若＝a，＝b，则用a，b表示的结果为______． 解析：由题意，可得＝－＝a－b， ∵D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点， ∴＝＝(a－b)，同理，＝＝(a－b)，＝＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：＝a＋b 2．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________． 解析：＝＋＋＝a＋b＋ ＝a＋b＋(b－a)＝a＋b. 答案：a＋b 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　平面向量基本定理的理解 例1.若e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______．(填序号) ①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； ②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； ④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 解析：①正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．③正确．平面α内的任一向量a都可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；④不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2唯一确定． 答案：①③ [总结] 　对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 【练一练】 1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　) A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4 解析：选D.∵向量e1与e2不共线，且3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2， ∴解得 2．(多选)(2023·重庆南华中学高二检测)设e1，e2为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是(　　 ) A．e1＋e2和e1－e2 B．4e1＋2e2和2e2－4e1 C．2e1＋e2和e1＋e2 D．e1－2e2和4e2－2e1 解析：选CD.由题意，e1，e2是不共线的两个向量，可得e1＋e2和e1－e2不共线，4e1＋2e2和2e2－4e1不共线，所以选项A，B的向量组都可以作为基底，因为2e1＋e2＝2，所以2e1＋e2和e1＋e2共线，因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，所以4e2－2e1与e1－2e2共线，故选项C，D的向量组不能作为基底． 题型二　用基底表示向量 例2.如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，D，F分别为 线段BC，AC上一点，且BD＝3DC，CF＝3FA，BF和AD相交于点E. (1)用向量a，b表示； (2)假设＝λ＋(1－λ)＝ν，用向量a，b表示并求出ν的值． 解：(1)由题意＝a，＝b, ∴＝＋＝－a＋(＋)＝－a＋b. (2)由(1)知，＝＋＝－a＋b，而＝＝b， 又＝λ＋(1－λ)＝ν， ∴＝－λa＋(1－λ)b＝ν， ∵a，b不共线，∴－λ＝－ν，(1－λ)＝，解得λ＝，ν＝，∴＝－a＋b，ν＝. [总结]　用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型： 【练一练】 3.如图，已知M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且＝，＝，＝.如果＝a，＝b，试用