6.3.1 平面向量基本定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示　► 对应学生用书P18

6．3．1　平面向量基本定理

[课程标准]　理解平面向量基本定理及其意义．

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

　平面向量基本定理

记一记：平面向量基本定理的关注点

①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；

②该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的；

③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底；

④定理的证明，课本中是用作图法证明了它的存在性，又用反证法证明了它的唯一性．

【基点小试】

1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若＝a，＝b，则用a，b表示的结果为______．

解析：由题意，可得＝－＝a－b，

∵D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，

∴＝＝(a－b)，同理，＝＝(a－b)，＝＝(a－b)，

∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.

答案：＝a＋b

2．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________．

解析：＝＋＋＝a＋b＋

＝a＋b＋(b－a)＝a＋b.

答案：a＋b

　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力

题型一　平面向量基本定理的理解

例1.若e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______．(填序号)

①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；

②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；

③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；

④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．

解析：①正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．③正确．平面α内的任一向量a都可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；④不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2唯一确定．

答案：①③

[总结] 　对基底的理解

(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．

(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

【练一练】

1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)

A．0，0    B．1，1

C．3，0    D．3，4

解析：选D.∵向量e1与e2不共线，且3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，

∴解得

2．(多选)(2023·重庆南华中学高二检测)设e1，e2为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是(　　 )

A．e1＋e2和e1－e2

B．4e1＋2e2和2e2－4e1

C．2e1＋e2和e1＋e2

D．e1－2e2和4e2－2e1

解析：选CD.由题意，e1，e2是不共线的两个向量，可得e1＋e2和e1－e2不共线，4e1＋2e2和2e2－4e1不共线，所以选项A，B的向量组都可以作为基底，因为2e1＋e2＝2，所以2e1＋e2和e1＋e2共线，因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，所以4e2－2e1与e1－2e2共线，故选项C，D的向量组不能作为基底．

题型二　用基底表示向量

例2.如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，D，F分别为

线段BC，AC上一点，且BD＝3DC，CF＝3FA，BF和AD相交于点E.

(1)用向量a，b表示；

(2)假设＝λ＋(1－λ)＝ν，用向量a，b表示并求出ν的值．

解：(1)由题意＝a，＝b,

∴＝＋＝－a＋(＋)＝－a＋b.