6.2.4 向量的数量积-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．2．4　向量的数量积　　　　　► 对应学生用书P13

[课程标准]　1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．   2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．　3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识

一、向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量a，b(如图所示)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

 

2．特例：

①当θ＝0时，向量a与b同向；

②当θ＝π时，向量a与b反向；

③当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b.

想一想：若两个向量夹角为钝角，则它们的数量积小于0.反之，若数量积小于0，则两个向量的夹角为钝角，说法对吗？

提示：不对，因为两个向量反向时，数量积小于0，但它们的夹角是180°，不是钝角．

二、向量的数量积

1．向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．

2．投影向量

如图①，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．

　　

如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1就是向量a在向量b上的投影向量．

记一记：1.两向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值可正、可负、可为0.两个非零向量的数量积符号由夹角的余弦值决定．

2．两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、 b的乘积ab(或a·b)是不同的．

3．若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe.

三、平面向量数量积的性质及运算律

1．向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

2．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

记一记：1.(a·b)c＝a(b·c)不一定成立. 因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，如果c与a不共线，则式子不成立，即数量积不适合乘法结合律．

2．在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.

3．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量，该推理是不正确的，即a·b

＝b·c⇒/ a＝c，也就是说数量积不适合消去律.

【基点小试】

1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　 )

A．3         B．－3

C．－3    D．3

解析：选B.由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.

2．已知向量a，b满足＝2，a·b＝－1，则a·(a－2b)＝(　　 )

A．2    B．4

C．6    D．8

解析：选C.由平面向量数量积的运算性质可得，a·＝a2－2a·b＝|a|2－2a·b＝22－2×＝6.

3．已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为O，则·＝____________．

解析：因为正六边形ABCDEF边长为1，其中心为O，所以〈，〉＝120°，||＝||＝1，所以·＝1·1·cos 120°＝－.

答案：－

4．如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角．

(1)与；

(2)与.

解：(1)与的夹角是∠EDF＝60° .

(2)因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120° .

5．已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：

(1)(a－b)·(a－b)；