6.2.3 向量的数乘运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．2．3　向量的数乘运算　　　　　► 对应学生用书P9 [课程标准]　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．　2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识　　　　　　　　　　 一、向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量．这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反． 由(1)可知，当λ＝0时，λa＝0． 由(1)(2)可知，(－1)a＝－a． 记一记：1.数乘的理解 (1)数乘向量的结果仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数； (2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0； (3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 2．向量数乘的几何意义是把向量a沿着a的方向或反方向放大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向放大(λ＞1)或缩小λ倍；当λ＜0时，沿着a的反方向放大(|λ|＞1)或缩小|λ|倍． 二、向量数乘的运算律 1．设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b． 三、向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 想一想：实数与向量的积与原向量之间的位置有怎样的关系？ 提示：若a≠0，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反，即λa与a是共线向量； 若a＝0或λ＝0，因为0与任意向量平行，所以λa与a是共线向量． 【基点小试】 1．判断正误． (1)λa的方向与a的方向一致．(　　 ) (2)若λa＝0，则a＝0.(　　 ) (3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(　　 ) 解析：(1)a≠0时，若λ<0，则方向相反； (2)也可能λ＝0； (3)当m＝0时，结论不一定成立． 答案：(1)×　 (2)×　　 (3)× 2．下列运算正确的个数是(　　 ) ①·2a＝－6a； ②2－＝3a； ③－＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①·2a＝－6a，由数乘运算知正确； ②2－＝3a，由向量的运算律知正确； ③－＝0，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误． 3．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　 ) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 解析：选ABD.因为a＝2e，b＝－6e ，所以b＝－3a，故D正确； 由向量共线定理知，A正确； －3<0，a与b方向相反，故B正确； 由上可知|b|＝3|a|，故C错误． 4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 解析：由题意知a＝－b. 答案：－ 5．已知向量a＝e1－e2，b＝－3.求证：a与b是共线向量． 解：由题意，a＝e1－e2，b＝－3，则b＝6＝6a，由向量共线定理知a与b是共线向量． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　向量的线性运算 例1.化简：(1)5＋4； (2)6－4； (3)； (4)－. 解：(1)5＋4＝10a－10b＋8b－12a＝－2a－2b. (2)6－4＝6a－18b＋6c＋4a－4b＋4c＝10a－22b＋10c. (3)＝＋a－＝3a＋b. (4)－＝(x－y－x＋y)a＋b＝2b. [总结] 　向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 【练一练】 1．若a＝b＋c，化简3－2－2的结果为(　　 ) A．－a B．－4b C．c D．a－b 解析：选A.3－2－2＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2b－2c＝b＋c－2b－2c＝－＝－a． 2．若2－＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝______． 解析：因为2－＋b＝2y－a－c－b＋y＋b＝3y－a＋b －c＝0，所以3