6.2.3 向量的数乘运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．2．3　向量的数乘运算　　　　　► 对应学生用书P9

[课程标准]　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．　2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．

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一、向量的数乘运算

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量．这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．

由(1)可知，当λ＝0时，λa＝0．

由(1)(2)可知，(－1)a＝－a．

记一记：1.数乘的理解

(1)数乘向量的结果仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数；

(2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0；

(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．

2．向量数乘的几何意义是把向量a沿着a的方向或反方向放大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向放大(λ＞1)或缩小λ倍；当λ＜0时，沿着a的反方向放大(|λ|＞1)或缩小|λ|倍．

二、向量数乘的运算律

1．设λ，μ为实数，那么

(1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．

特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；

λ(a－b)＝λa－λb.

2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b．

三、向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．

想一想：实数与向量的积与原向量之间的位置有怎样的关系？

提示：若a≠0，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反，即λa与a是共线向量；

若a＝0或λ＝0，因为0与任意向量平行，所以λa与a是共线向量．

【基点小试】

1．判断正误．

(1)λa的方向与a的方向一致．(　　 )

(2)若λa＝0，则a＝0.(　　 )

(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(　　 )

解析：(1)a≠0时，若λ<0，则方向相反；

(2)也可能λ＝0；

(3)当m＝0时，结论不一定成立．

答案：(1)×　 (2)×　　 (3)×

2．下列运算正确的个数是(　　 )

①·2a＝－6a；

②2－＝3a；

③－＝0.

A．0    B．1    C．2    D．3

解析：选C.①·2a＝－6a，由数乘运算知正确；

②2－＝3a，由向量的运算律知正确；

③－＝0，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误．

3．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是(　　 )

A．a∥b

B．向量a，b方向相反

C．|a|＝3|b|

D．b＝－3a

解析：选ABD.因为a＝2e，b＝－6e ，所以b＝－3a，故D正确；

由向量共线定理知，A正确；

－3<0，a与b方向相反，故B正确；

由上可知|b|＝3|a|，故C错误．

4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.

解析：由题意知a＝－b.

答案：－

5．已知向量a＝e1－e2，b＝－3.求证：a与b是共线向量．

解：由题意，a＝e1－e2，b＝－3，则b＝6＝6a，由向量共线定理知a与b是共线向量．

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题型一　向量的线性运算

例1.化简：(1)5＋4；

(2)6－4；

(3)；

(4)－.

解：(1)5＋4＝10a－10b＋8b－12a＝－2a－2b.

(2)6－4＝6a－18b＋6c＋4a－4b＋4c＝10a－22b＋10c.

(3)＝＋a－＝3a＋b.

(4)－＝(x－y－x＋y)a＋b＝2b.

[总结] 　向量线性运算的方法

(1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

【练一练】

1．若a＝b＋c，化简3－2－2的结果为(　　 )

A．－a    B．－4b

C．c      D．a－b