6.2.1 向量基本定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

6．2　向量基本定理与向量的坐标 6．2.1　向量基本定理 [课标解读]1.掌握共线向量基本定理.2.理解平面向量基本定理.3.了解直线的向量参数方程式.4.掌握会运用共线向量的基本定理，解决一些简单的问题． 知识点一　共线向量基本定理 1．共线向量基本定理 如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (1)b＝λa时，通常称为b能用a表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.这是因为：由λa＝μa可知(λ－μ)a＝0，如果λ－μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ. (3)共线向量基本定理是判断、证明向量共线的理论依据，其中条件“a≠0”必不可少，这是因为如果a＝0，则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线)，此时b有两种情况：①b＝0；②b≠0.若b＝0，此时b＝λa中的λ有无数个；若b≠0，此时不存在λ使得b＝λa成立．以上两种情况违背λ“存在且唯一”的特点． (4)对于任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)使λa＋μb＝0，则a与b共线． 证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，结论显然成立． 若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－a，说明a与b共线． (5)由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论：若两个向量a，b不共线，而λa＝μb，则说明λ＝μ＝0.　　 2．三点共线的充要条件 由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ. 知识点二　平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. 学生用书第83页 上述实数对(x，y)可以用如下方式找到：如图所示，将向量a与b的始点平移到一起，假设＝a，＝b，将向量c的始点也平移到O点，以OA，OB所在的直线为相邻的边，以OC为对角线作平行四边形ODCE. 因为a与b不共线，所以a≠0且b≠0，又因为∥a，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的x，使得＝xa；同理，存在唯一的y，使得＝yb.又由向量加法的平行四边形法则可知＝＋，从而c＝xa＋yb. (1)由共线向量基本定理可知，任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示，而且这种表示是唯一的．因此，平面向量基本定理是共线向量基本定理从一维到二维的推广． (2)平面向量基本定理包括两个方面的内容，一是存在性，二是唯一性．唯一性是指如果c＝xa＋yb＝μa＋vb，那么x＝μ且y＝v. (3)当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.　　 2．基底 平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量a与b不共线时，任意一个向量c，都可以写成a与b的线性运算(简称为用a与b表示向量c)，而且表达式唯一．因此，平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式． (1)由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可用基底表示出来．因而可以“统一”各向量，便于研究向量问题． (2)基底不唯一，同一平面可以有不同的基底，且组成基底的向量不能共线(零向量不可以作为基底中的向量)．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．　　 1．设e1，e2是同一平面内的两个向量，则(　　) A．e1，e2一定平行 B．{e1，e2}是该平面的一组基底 C．对该平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D．若e1，e2不共线，则对该平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D　[D选项符合平面向量基本定理，其他三个选项均不正确．] 2．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 C　[向量a＋λb与b＋λa的方向相反， ∴(a＋λb)∥(b＋λa)．由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m， 使得a＋λb＝m(b＋λa)， 即(1－mλ)a＝(m－λ)b. ∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ. ∴1－λ2＝0，λ＝±1， 当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去． ∴λ＝－1.] 学生用书第84页 题型一　共线向量定理的应用 判断向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个非零不共线的向量)： (1)a＝3e1，b＝－9e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2. [思路点拨]　根据向量共线条件，若存在实数λ，使得a＝λb，则a，b共线；反之，不共线． 解析：　(1)∵a＝