6.1.5 向量的线性运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

6.1.4　数乘向量 6．1.5　向量的线性运算 [课标解读]1.掌握数乘向量的定义.2.理解数乘向量的几何意义.3.理解两个向量共线的条件.4.掌握向量的线性运算． 知识点一　数乘向量 1．数乘向量的定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量． (1)实数与向量可以求乘积，但不能进行加减运算．如λ＋a，λ－a均没有意义． (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. (3)对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量．　　 2．数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a. 数乘向量λa中，λ的符号与λa的方向有关，λ的大小与λa的模有关．当λ>0时，沿着向量a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍； 当λ<0时，沿着向量a的反方向放大(|λ|>1)或缩小(0<|λ|<1)到原来的|λ|倍．　　 3．λ(μa)＝(λμ)a 当λ和μ都是实数，且a是向量时：μa是向量，λ(μa)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量．可以看出 λ(μa)＝(λμ)a. 知识点二　向量的线性运算 1．向量的加法与数乘向量的混合运算 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法． (1)一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有 λa＋μa＝(λ＋μ)a. (2)一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有 λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． (1)向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项. 学生用书第79页 (2)由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量． (3)当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号． 知识点三　判断三点共线 利用数乘向量，可以方便地研究三点共线的情形． 一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线． 1．(多选)如图，设P，Q是线段AB的三等分点(P靠近点A)，则下列向量表达式正确的是(　　) A.＝　　　　 B．＝ C.＝－ D．＝ ABC　[分析可知A，B，C都是正确的，而＝－，故D中表达式错误．] 2．(2021·河北省邯郸市期中考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C.＝λ D.＝－λ A　[A.因为λ2＞0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确； B，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误； C，当λ＜0时，λ＜0，故C选项错误； D，当λ＞0时，－λ＜0，故D错误． 故选A.] 3．在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则＋－等于(　　) A．0 B．4 C．4 D．4 C　[点M是△ABC的重心， ∴＋－＝2－ ＝2－(－2)＝4. 故选C.] 4．化简：(－4)×a＝________． 解析：　(－4)×a＝(－4×)a＝－2a. 答案：　－2a 5．化简：2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝________． 解析：　2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 答案：　14a－9b 题型一　数乘向量 (1)下列各式化简正确的是__________． ①－3×2a＝－5a； ②a×3×(－2)＝－3a； ③－2×＝2； ④0×b＝0. (2)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________． [思路点拨]　(1)利用数乘运算法则判断． (2)a与λa若方向相同，则λ>0. 解析：　(1)因为－3×2a＝－6a，a×3×(－2)＝－3a，－2×＝－2＝2，0×b＝0.所以，①④错误，②③正确． (2)由向量数乘定义可知，2x－1>0，即x>. 答案：　(1)②③　(2)x> (1)λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数． (2)数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．　　 即时练1.(1)化简下列各