4.6 函数的应用(二)-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4.6　函数的应用(二) 4．7　数学建模活动：生长规律的描述(略) [课标解读]1.理解指数函数模型.2.理解对数函数模型.3.理解幂函数模型.4.理解几类函数模型的建立及应用． 知识点　常见的几类函数模型及其应用 1．指数函数模型 能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，且b≠1)表达的函数模型叫做指数函数模型，若a＞1，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“爆炸式增长”．指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类． (1)平均增长率问题：若原来产值或产量的基数为N，平均增长率为P，则对于时间x的产值或产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x(N≠0)表示． (2)储蓄中的复利计算问题：若本金为a元，每期利率为r，本息和为y，存期为x，则y＝a(1＋r)x(a≠0)． 2．对数函数模型 能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，且a≠1)表达的函数模型叫做对数函数模型，若a＞1，则其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着自变量的逐渐增大，函数值增大的速度越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”． 有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，对于此类问题，我们要从中提炼出数据，代入函数关系式求出参数的值，然后解答实际问题． 3．幂函数模型 能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型. 学生用书第31页 1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则每年沙漠面积增加值y关于年数x的函数关系较为近似的是(　　 ) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x C　[当x＝1时，排除选项B；当x＝3时，排除选项A、D，检验C项较为接近．] 2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为(　　) A. B． C.－1 D．－1 D　[设1月份产值为a，月平均增长率为x，则有a(1＋x)11＝ma，∴x＝－1.] 3．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是(　　 ) B　[v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.] 4．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的细沙，则再经过________min，容器中的细沙只有开始时的八分之一． 解析：　将代入函数得a＝ae－8b， 所以－8b＝ln ，b＝ln 2，所以y＝ae－t. 当y＝a时，a＝ae－t， 解得t＝24，24－8＝16(min)，所以填16. 答案：　16 5．我国将正常视力规定为5分，无光感规定为0，使所有视力等级连成一个完整的数字系统.5分记录法是用5分减去视角的对数值来表达视力：L＝5－tlg α(L表示视力，α表示视角，t为参数)，已知近视力表最大视标的视角为100′，此时α＝102，L＝3.0，则α＝10－0.1时，L＝________． 解析：　由3＝5－tlg 100，解得t＝1，所以L＝5－lg α，将α＝10－0.1代入上式，得L＝5－lg(10－0.1)＝5＋0.1＝5.1. 答案：　5.1 题型一　指数函数模型的应用 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解析：　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)， 则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝， 解得x＝1－. (2)设经过m年剩余面积为原来的， 则a(1－x)m＝a，即＝， 即＝，解得m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年． 学生用书第32页 即时练1.(2021·江苏省南京市期末考试)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，若当空气温度为30 ℃时，某物体的温度从90 ℃下降到60 ℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________ ℃. 解析：　∵θ＝θ0＋(θ1－θ0)e