4.5 增长速度的比较-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4.5　增长速度的比较 [课标解读]1.了解平均变化率.2.理解增长速度的比较.3.知道函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 知识点一　平均变化率 我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为 ＝. 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢． (1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δf＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δf＝f(x1)－f(x2)． (2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4]．　　 知识点二　增长速度的比较 1．几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型 一次函数模型y＝kx(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x＞1时，n越大其函数值的增长速度就越快． 2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上． 随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢． 因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)． 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增，且a越大，增长越快. 单调递增，且a越小，增长越快. 单调递增，且x＞1时，n越大增长越快． 增长速度 越来越快. 越来越慢. 越来越快． 图像的变化 随x的增大越来越陡. 随x的增大逐渐变缓. 随着n值的不同而不同. 学生用书第29页 1．下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝3x　　　　　　　　 B．y＝log3x C．y＝x3 D．y＝3x A　[结合函数y＝3x，y＝log3x，y＝x3，y＝3x的图像可知，随着x的增大，函数y＝3x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x3的增长速度，而y＝log3x的增长速度则会越来越慢，y＝3x的增长速度不变，故本题选A.] 2．f(x)＝－2x＋1自变量每增加1个单位，函数值的变化情况为(　　) A．增加1个单位 B．减少1个单位 C．增加2个单位 D．减少2个单位 D　[＝＝＝－2.] 3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　) A．y＝2x－2 B．y＝ C．y＝log2x D．y＝(x2－1) D　[方法一　相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次函数曲线拟合程度最好，故选D. 方法二　比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.] 4．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：　当x变大时，x比ln x增长得快，∴x2要比xln x增长得快． 答案：　y＝x2 5．函数f(x)＝3x在区间[2，3]上的平均变化率为________． 解析：　因为＝＝，所以f(x)＝3x在[2，3]上的平均变化率为＝18. 答案：　18 题型一　平均变化率 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log3x，h(x)＝x3，分别计算这三个函数在区间[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． [思路点拨]　 →→ 解析：　＝＝＝2×33＝54， ＝＝＝log34－1， ＝＝＝37， ∴＞＞. 求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的