4.4 幂函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4．4　幂函数 [课标解读]1.了解幂函数的概念.2.理解五个具体幂函数(y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3)的图像与性质． 知识点一　幂函数的概念 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量x，指数为常数α； (3)项数只有一项． 符合以上三个特征的函数才是幂函数． 知识点二　常见幂函数的图像与性质 1．五个具体幂函数的图像 画函数图像的步骤：列表、描点、连线．幂函数的图像也可以按照此步骤画出，下面我们在同一直角坐标系中画出下列函数的图像，如图所示． ①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝x；⑤y＝x－1. 2．五个具体幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 在[0，＋∞) 上是增函数；在(－∞，0] 上是减函数 在R上为增函数 在[0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数；在(－∞，0)上是减函数 图像过定点 (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (1，1) (1)除函数y＝x外，其余四个函数都具有奇偶性； (2)在第一象限内，函数y＝x－1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近，我们称x轴和y轴为该函数图像的渐近线． 学生用书第26页　　 1．下列结论正确的是(　　) A．幂函数图像一定过原点 B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数 C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数 D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数 D　[函数y＝x－1的图像不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．] 2．幂函数f(x)的图像过点(3，)，则f(8)＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 C　[设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图像过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.] 3．幂函数f(x)＝x的大致图像为(　　) B　[由于f(0)＝0，所以排除C、D选项．而f(－x)＝(－x)＝ ＝＝x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称．故选B.] 4．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm－1在(0，＋∞)上单调递减，则m的值为(　　) A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2 A　[由函数为幂函数得m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝x－2，符合题意．当m＝2时，f(x)＝x，不合题意． 综上m＝－1.] 5．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________． 解析：　当α＝1，3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数； 当α＝－1时，y＝的定义域是{x|x∈R且x≠0}； 当α＝时，y＝x＝的定义域是{x|x≥0}． 答案：　1，3 题型一　幂函数的概念 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－1 D．3 (3)已知幂函数f(x)的图像经过点，则f(4)＝________． [思路点拨]　(1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)依据幂函数的定义列方程求m. (3)先设f(x)＝xα，再将点代入求α. 解析：　(1)符合幂函数定义只有①⑥，其余的不是幂函数，故选B. (2)∵函数是幂函数， ∴m2＋2m－2＝1， ∴m＝1或m＝－3， 又函数在第一象限为增函数， ∴m＝1，故选A. (3)设f(x)＝xα，由题意得 3α＝，∴α＝－2， ∴f(x)＝x－2， ∴f(4)＝4－2＝. 答案：　(1)B　(2)A　(3) 求幂函数解析式的依据和常用方法 (1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． (2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　 [变式训练] 1．(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝(