4.3 指数函数与对数函数的关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 [课标解读]1.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0且a≠1)2.能利用反函数与原函数图像、单调性等性质的关系解决相关的问题． 知识点　指数函数与对数函数的关系 1．反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到． 2．反函数的性质 一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．则 (1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同． (2)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称． (3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同． (1)由性质(2)可知，若函数y＝f(x)的图像上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图像上；反之，若点(b，a)在y＝f(x)的反函数的图像上，则点(a，b)必在函数y＝f(x)的图像上． (2)特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图像关于直线y＝x对称，如反比例函数y＝(k≠0)．　　 3．求反函数的步骤 当函数y＝f(x)存在反函数时，求反函数的步骤为： →→ (1)对于函数y＝f(x)，若任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，则f(x)存在反函数．如一次函数y＝kx＋b(k≠0)、反比例函数y＝(k≠0)、指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)，它们都有反函数；如二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于－对称的两个不同的自变量对应同一个函数值，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换，对应法则互逆．　　 1．函数y＝＋1(x≥1)的反函数是(　　) A．y＝x2－2x＋2(x＜1) B．y＝x2－2x＋2(x≥1) C．y＝x2－2x(x＜1) D．y＝x2－2x(x≥1) B　[由y＝＋1，得x＝(y－1)2＋1， 即x＝y2－2y＋2， ∵x≥1，∴y＝＋1≥1， ∴反函数为y＝x2－2x＋2(x≥1)．] 2．若函数y＝f(x)＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－1 B　[方法一　由y＝1＋3－x得x＝－log3(y－1)， 又3－x＞0，∴y＝1＋3－x＞1， ∴g(x)＝－log3(x－1)(x＞1)，∴g(10)＝－2. 方法二　设g(10)＝a，则f(a)＝10， 即1＋3－a＝10，∴a＝－2，即g(10)＝－2.] 学生用书第24页 3.函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则(　　) A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe C　[易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x．] 4．(多选)下列区间，在函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域内的是(　　) A．(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) ACD　[y＝f－1(x)的定义域即函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域．∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0，∴y＝f－1(x)的定义域为(0，＋∞)．故选ACD.] 5．(多选) (2020·江苏省无锡市单元测试)已知函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝(a>0，a≠1)，以下结论正确的有(　　) A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图像关于直线y＝x对称 ABD　[∵y＝－logax＝logx， ∴函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝(a>0，a≠1)互为反函数，故A正确； 再根据反函数的定义可知BD正确； 又互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称，∴它们的单调性相同，故C不正确； 故选：ABD.] 题型一　判断函数是否有反函数 判断下列函数是否有反函数． (1)f(x)＝；(2)g(x)＝x2－2x. [思路点拨]　由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明． 解析：　(1)令y＝f(x)，因为y＝＝1＋，是由反比例函数y＝向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应