4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图像应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

第2课时　对数函数的性质与图像应用 题型一　比较大小 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 2，ln 0.9； (2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)； (3)log67，log76； (4)log3π，log20.8 [思路点拨]　 解析：　(1)函数y＝ln x的底数为常数e(e>1)， 所以该函数在(0，＋∞)上是增函数， 又2>0.9，所以ln 2>ln 0.9. (2)当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 因为5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9. 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 因为5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9. 综上，当0<a<1时，loga5.1>loga5.9；当a>1时，loga5.1<loga5.9. (3)因为log67>log66＝1，log76<log77＝1， 所以log67>log76. (4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， 所以log3π>log20.8. 比较对数值大小时常用的三种方法 　　 即时练1.(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a (2)比较下列各组值的大小： ①log0.5，log0.6.②log1.51.6，log1.51.4. ③log0.57，log0.67.④log3π，log20.8. 解析：　(1)a＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝π－2∈(0，1)，所以a>c>b. (2)①因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6， 所以log0.5>log0.6. ②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4， 所以log1.51.6>log1.51.4. ③因为0>log70.6>log70.5， 所以<， 即log0.67<log0.57. ④因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8. 答案：　(1)C 题型二　解对数不等式 (1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为________； (2)根据下列各式，确定实数a的取值范围： ①log1.5(2a)>log1.5(a－1)； ②log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)． [思路点拨]　(1)利用函数y＝log3x的单调性求解． (2)利用单调性解不等式． 解析：　(1)因为log3x<1＝log33，所以x满足的条件为 即0<x<3.所以x的取值集合为{x|0<x<3}． (2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数． 因为log1.5(2a)>log1.5(a－1)，所以解得a>1， 即实数a的取值范围是(1，＋∞)． ②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)， 所以解得－1<a<1.即实数a的取值范围是(－1，1)． 答案：　(1){x|0<x<3} 两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)． (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.　　 即时练2.(1)已知log0.72x<log0.7(x－1)，则x的取值范围为________； (2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解析：　(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.72x<log0.7(x－1)得 解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞)． (2)loga(x－1)≥loga(3－x)， 当a>1时，有解得2≤x<3. 当0<a<1时，有解得1<x≤2. 综上可得， 当a>1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)； 当0<a<1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2]． 答案：　(1)(1，＋∞) 学生用书第21页 题型三　对数函数性质的综合应用 已知a>0且a≠1，f(logax)＝. (1)求f(x)； (2)判断f(x)的单调性和奇偶性； (3)对于f(x)，当x∈(－1，1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围． [思路点拨]　(1)利用换元法求解析式， 设t＝logax. (2)利用定义法判断函数的奇偶性． (3)由(2)的结论，求m的取值范围．