4.2.3 第1课时 对数函数的概念、定义域和值域-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图像 [课标解读]1.了解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图像.3.理解对数函数的性质． 知识点一　对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2．判断一个函数是否为对数函数的依据 (1)形如y＝logax；(2)底数a满足a>0，a≠1；(3)真数为x，而不是x的函数；(4)定义域为(0，＋∞)． 如y＝log2x2，y＝log5(x＋5)，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数． (1)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)． (2)结合上一节知识可知以10为底的对数函数y＝lg x叫做常用对数函数，以e为底的对数函数y＝ln x叫做自然对数函数．　　 知识点二　对数函数的图像和性质 底数 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图像过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0. 增函数 减函数 非奇非偶函数 (1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)根据对数函数的性质可知，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图像都过点，(1，0)，(a，1)，且图像都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax的草图． (3)在对数函数y＝logax(a>0，a≠1)中，①若0<a<1且0<x<1，或a>1且x>1，则有y>0；②若0<a<1且x>1，或a>1且0<x<1，则有y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数值的正负就很简单了．　　 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1) C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x D　[判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．] 2．函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　) A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1] B　[由题意，得解得0≤x<1，故函数y＝ln(1－x)的定义域为[0，1)．] 3．函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图像大致是(　　) A　[∵0<a<1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确； 又函数y＝loga(x－1)的图像是由y＝logax的图像向右平移一个单位得到，故A正确．] 学生用书第18页 4.已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________． 解析：　f＋f(15)＝log3＋log315＝log327＝3. 答案：　3 5．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________． 解析：　由4x－x2>0得0<x<4， 函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0，4)． 令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， 当x∈(0，2]时，u＝4x－x2是增函数， 当x∈(2，4)时，u＝4x－x2是减函数． 又∵y＝log3u是增函数， ∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0，2]． 答案：　(0，2] 第1课时　对数函数的概念、定义域和值域 题型一　对数函数的概念 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga(a>0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x>0，且x≠1)； (5)y＝log6x. [思路点拨]　用对数函数的概念y＝logax(a>0且a≠1)来判断． 解析：　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 判断一个函数是对数函数的方法 　　 即时练1.已知函数：(1)y＝log(－x)(x<0)；(2)y＝2log4(x－1)(x>1)；(3)y＝ln x(x>0)；(4)y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)． 其中，一定是对数函数的是________．(填序号) 解析：　对于(1)，真数是－x，故(1)不是对数函数；对于(2)，2log4(x－1)的系数为2，且真数是x－1，故(2)不是对数函数； 对于(3)，易知(3)是对数函数； 对于(4)，底数a2＋a不一定大于0且可能等于1，故(4)不一定是对数函数． 答案：　(3) 题型二　求对数函数的定义域 求下列函数的定义域：