4.1.2 第2课时 指数函数的图像与性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

第2课时　指数函数的图像与性质 1．(多选)下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝－　　　　　　 B．y＝|x| C．y＝2x D．y＝x3 AD　[y＝－是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.D项显然正确．] 2．下列判断正确的是(　　) A．1.51.5>1.52 B．0.52<0.53 C．e2<e D．0.90.2>0.90.5 D　[因为y＝0.9x是减函数，且0.5>0.2， 所以0.90.2>0.90.5.] 3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为(　　) A　[方法一　y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A. 方法二　y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图像上升得快，y1＝与y2＝3x的图像关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图像关于y轴对称，所以选A.] 4．(2021·北京市期末考试)已知指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是__________． 解析：　∵指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴2a－1＞1， ∴a＞1， ∴实数a的取值范围是(1，＋∞)． 答案：　(1，＋∞) 5．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________． 解析：　令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点P(1，5)． 答案：　(1，5) 题型一　利用指数的单调性比较大小 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.8－，0.8－； (3)1.70.3，0.93.1. [思路点拨]　当底数相同时，利用指数函数的单调性比较大小， 当底数不同时，一般找中间量比较大小． 解析：　(1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x，当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值． 因为底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x是增函数． 因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)同(1)题，因为0<0.8<1， 所以指数函数y＝0.8x是减函数． 因为－>－，所以0.8－<0.8－. (3)由指数函数的性质知 1．70.3>1.70＝1， 0．93.1<0.90＝1， 所以1.70.3>0.93.1. 1．由例题可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． 2．比较幂值大小的三种类型及处理方法 　　 即时练1.比较下列各组值的大小： (1)1.8－0.1与1.8－0.2； (2)1.90.3与0.73.1； (3)a1.3与a2.5(a>0，且a≠1)． 解析：　(1)由于1.8>1，所以指数函数y＝1.8x在R上为增函数，所以1.8－0.1>1.8－0.2. (2)因为1.90.3>1，0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3<a2.5， 当0<a<1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3>a2.5. 故当0<a<1时，a1.3>a2.5，当a>1时，a1.3<a2.5. 学生用书第9页 题型二　指数函数的图像问题 (1)如图所示是下列指数函数的图像： ①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx. 则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c (2)当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．　 [思路点拨]　(1)先由a>1，0<a<1，两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像． (2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点． 解析：　(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小．由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近x轴，故选B. (2)当a>0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)． 答案：　(1)B　(2)(3，－1) 指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为 (1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知