4.1.2 第1课时 指数函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图像 [课标解读]1.理解指数函数的概念.2.理解指数函数的图像.3.理解指数函数的性质． 知识点一　指数函数的概念 1．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 为什么规定底数a>0且a≠1? (1)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如y＝(－2)x，对于x＝，，…，函数值不存在． (3)若a＝1，则对任意的x∈R，ax＝1是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况的发生，规定a>0且a≠1.有此规定后，对任意的x∈R，ax都有意义．以下谈到指数函数y＝ax时，均默认为a是常数，a>0且a≠1.　　 2．指数函数的结构特征 指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①ax的系数必须为1；②底数为 学生用书第5页 大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式． 说明：由于y＝a－x＝，因此y＝a－x也是指数函数． 知识点二　指数函数的图像和性质 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像和性质如下表： 底数 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 图像过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当x>0时，ax>1，当x＝0时，ax＝1，当x<0时，0<ax<1. 当x>0时，0<ax<1，当x＝0时，ax＝1，当x<0时，ax>1. 对称性 函数y＝ax与y＝的图像关于y轴对称 (1)当底数a的大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图像和性质． (2)由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像恒过点(0，1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的大致图像． (3)底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图像，画出另一个函数的图像．　　 第1课时　指数函数 1．下列函数中，指数函数的个数为(　　) ①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝－1. A．0　　　 B．1 C．3　　　 D．4 B　[由指数函数的定义可判定，只有②正确．] 2．函数f(x)＝3x－b(b为常数)的图像过点(2，1)，求f(4)的值(　　) A．3　　　 B．6 C．9　　　 D．27 C　[由f(x)过点(2，1)，代入得32－b＝1，∴b＝2， ∴f(x)＝3x－2，∴f(4)＝9.] 3．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0) B　[要使函数有意义． 则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.] 4．(多选)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　) A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝∅ AC　[集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．] 5．函数f(x)＝－1的值域为________． 解析：　∵>0，∴f(x)>－1. 答案：　(－1，＋∞) 学生用书第6页 题型一　指数函数概念的应用 (1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或2　　　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 (2)指数函数y＝f(x)的图像经过点，那么f(4)·f(2)等于________． [思路点拨]　(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1. (2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图像过点求a，最后求值． 解析：　(1)由指数函数的定义得 解得a＝2. (2)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2， 所以f(4)·f(2)＝24×22＝64. 答案：　(1)C　(2)64 1．判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． 2．已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤 即时练1.(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________________； (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ①y＝2·()x　②y＝2x－1　③y＝ ④y＝xx　⑤y＝3－　⑥y＝x. 解析：