4.1.1 实数指数幂及其运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 [课标解读]1.理解分数指数幂a(a>0，a≠1，m，n为整数，且n>0)的含义.2.了解指数幂的拓展过程.3.掌握指数幂的运算性质． 知识点一　有理指数幂 1．整数指数幂 整数指数幂 正整数指数幂 规定an＝ (n∈N＋)为正整数指数幂． 零指数幂 规定a0＝1(a≠0)为零指数幂． 负整数指数幂 规定a－n＝(a≠0，n∈N＋)为负整数指数幂. 运算法则 若m，n是整数，则有aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)m＝ambm. 2.n次方根、根式的定义与性质 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 性质 (1)0的任意正整数次方根均为0，记为＝0. (2)正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－. 注意：负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a<0且n为偶数时，在实数范围内没有意义. (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数. (2)根式的定义与性质 定义 当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数. 性质 (1)()n＝a(n∈N＋，且n>1)； (2)＝ 3.分数指数幂 分数 指数幂 正分数指数幂 对于一般的正分数，规定a＝()m＝. 负分数指数幂 若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝. 运算法则 一般情况下，当s与t都是有理数时，有asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs. (1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)式子a＝()m＝在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．例如，(－8)＝是有意义的，而(－8)＝()2是没有意义的．因此，以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数．　　 学生用书第2页 知识点二　实数指数幂 1．无理指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂． 说明：0的正无理指数幂为0，0的负无理指数幂没有意义． 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义，至此，指数幂中的指数从整数拓展到了实数．对于任意实数s，t，有理指数幂的运算法则也适用于实数指数幂． 1．将 化为分数指数幂，其形式是(　　) A．2 B．－2 C．2－ D．－2－ B　[＝(－2) ＝(－2×2)＝(－2)＝－2.] 2．b4＝3(b>0)，则b等于(　　) A．34 B．3 C．43 D．35 B　[因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝3.] 3．(多选)下列各式正确的是(　　) A.＝3 B．＝a C．()3＝－2 D．＝2 AC　[由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项B，D错误，故选AC.] 4.的值是________． 解析：　＝＝＝＝＝. 答案：　 5．(多选)(2021·黑龙江省牡丹江市期末考试)下列运算结果中，一定正确的是(　　) A．a3×a4＝a7 B．(－a2)3＝a6 C．3a3＋2a3＝5a6 D．＝－π AD　[A.a3×a4＝a7，正确；B.(－a2)3＝－a6，错误； C．3a3＋2a3＝5a3，错误；D.＝－π，正确．故选AD.] 题型一　利用根式的性质化简求值 (1)下列各式正确的是(　　) A.＝a B．a0＝1 C.＝－4 D．＝－5 (2)计算下列各式： ① ＝________； ② ＝________． [思路点拨]　首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果． 解析：　(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0. (2)① ＝－a. ② ＝＝π－3. 答案：　(1)D　(2)①－a　②π－3 根式化简或求值的策略 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．　　 即时练1.化简下列各式： (1)(n>1，且n∈N＋)； (2). 解析：　(1)当n为奇数时，＝3－π； 当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3. (2)＝|x－y|. 当x≥y时，＝x－y；当x<y时，＝y－x. 学生用书第3页 题型二　根式与分数指数幂的互化 (1)将分数指数幂a－(a>0)化为根式为________； (2)化简：(a2·)÷(·)＝________．(用分数指数幂表示