24.1 圆的有关性质 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质★★★★☆☆ 【新手目标】 知道圆的性质，会利用圆的性质处理问题。 关卡1-1 垂径定理★★★★☆☆ 【过关笔记】 一、学定理之前 1．圆的定义的两种描述： （1）线段OA绕着它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。记作⊙O，读作圆O。点O叫做圆心，线段OA叫做半径。确定一个圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径。 （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2.弦和直径： （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。 3.弧： （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB (⌒),读作弧AB。 （2）半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如ACB (⌒)。小于半圆的弧叫做劣弧，如AB (⌒)。 （3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。 4. 同心圆与等圆 （1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。 （图一） （图二） （2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。 （3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。 二、垂径定理和推论 1.定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 ． 如图： 2.推论：平分弦（非直径）的直径， 于弦，并且平分弦所对的两条弧． 如图： 3.反例： 【成长例题】 例题1如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A.AE=OE B.CE=DE C.OE=CE D. ∠AOC=60° 例题2下列判断中正确的是（ ） A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 例题3-1如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为 ，BP= ，BC= ，AC= 。 例题3-2（2019·育才·第三次月考）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　 　） A．2 B．4cm C． D． 例题3-3（2020·老边实验·期中）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为（　 　） 例题4（2019·育才·期中）如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为　 　m． 例题5-1已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为 例题5-2在半径为10的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长16，另一条弦长为12，则这两条弦之间的距离为　 　． 【过关练习】 练习1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ） A．CM=DM B．CB＝DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=BM 练习2-1如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，EB＝1，则CD的长为　 　． 练习2-2 ⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3:5，则AB的长为（ ） A.8 B.12 C.16 D.2 练习2-3（2020·一中·月考）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　 　） A．2 B．4 C．8 D．10 练习3-1一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽 AB=16，则排水管内水的最大深度CD= ． 练习3-2如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径为______． 练习4在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离． 关卡1-2 圆心角与圆周角定理★★★★☆☆ 【过关笔记】 一、圆心角定理 1.圆心角 （1）圆心角：顶点在 的角叫圆心角． 2.弧、弦、圆心角之间的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆