21.1 一元二次方程 讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

21.1 一元二次方程★★☆☆☆☆ 【新手目标】 了解一元二次方程的定义，明确一元二次方程的一般形式，理解方程根的定义。 关卡1-1 一元二次方程相关概念★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 1. 一元二次方程的定义及一般形式： （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式：_____________________。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 （3） 一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 【成长例题】 例题1-1（2020·一中·月考）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0（a，b，c为任意数）；②（x﹣9）2﹣（x﹣1）2＝1；③x+5＝；④x2+2a＝0（a为任意实数）；⑤＝x﹣1；⑥3x2+x+1＝0．一元二次方程的个数是（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题1-2（2020·一中·月考）已知：方程（a+9）x|a|﹣7+8x+1＝0是一元二次方程，则a的值为　 9 　． 例题1-3（2021·一中·期中）关于x的方程（m﹣）﹣x+3＝0是一元二次方程，则m＝　﹣　． 例题2-1若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x﹣（4k﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k＝　2　． 例题2-2（2020·十七中·月考）把一元二次方程2x（3x﹣2）＝x﹣1化成一般形式是　6x2-5x+1=0 ． 例题3（2021·十七中·期中） 已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　B　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0 例题4（2020·七中·期中）已知m是方程式x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2019的值为　2020　． 【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m＝1 ∵m3+2m2+2019＝m3+m2+m2+2019＝m（m2+m）+m2+2019＝m+m2+2019＝1+2019＝2020． 例题5（2020·七中·期中）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1＝0 【解答】解：（1﹣）÷﹣＝×﹣＝x﹣＝ ∵x2﹣x﹣1＝0，即x2＝x+1，所以原式＝1． 【过关练习】 练习1 （2021·九中·月考）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　A　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 练习2-1关于x的方程是（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0，当m　≠±1　时，方程为一元二次方程；当m　＝﹣1　时，方程为一元一次方程． 练习2-2若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　m≥0且m≠1　． 练习3-1（2020·雁南·月考）将方程3x2﹣x＝﹣2（x+1）2化成一般形式为　5x2+3x+2＝0　， 练习3-2方程2x2﹣1＝的二次项系数是　2，一次项系数是﹣　，常数项是﹣1 ． 练习4-1（2019·育才·第一次月考） 关于x的方程x2+mx﹣2m2＝0的一个根为1，则m的值为（　D　） A．1 B． C．1或 D．1或﹣ 练习4-2（2021·一中·期中）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m+2的值等于（　A　） A．6 B．1 C．0 D．﹣1 练习5（2020·十七中·期中）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a是一元二次方程a2+3a﹣2＝0的根． 【解答】解：（﹣）÷＝[]•a（a﹣2） ＝（）•a（a﹣2）＝•a（a﹣2）＝a（a+3）＝a2+3a， ∵a2+3a﹣2＝0，∴a2+3a＝2，∴原式＝2． 练习6向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题： （1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程； （2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程． 【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣； （2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程 当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1， 当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x＝﹣． 当m2+1＝0时，方程无解． 练习7将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 【解答】解：根据题意，得（x+1）•2x﹣（x+2）（x﹣2）