专题01 一元二次方程及其解法重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 一元二次方程及其解法重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 一元二次方程的定义与一般形式 题型二 一元二次方程的解 题型三 用直接开方法解一元二次方程 题型四 用配方法解一元二次方程 题型五 用公式法解一元二次方程 题型六 用因式分解法解一元二次方程 题型七 用换元法解一元二次方程 题型八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型九 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十 配方法的应用 【知识梳理】 知识点1：一元二次方程的概念 ： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点2： 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意： （1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点3 ：一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4：一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点5：解一元二次方程-直接开方 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2） 降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3） 方法是根据平方根的意义开平方 知识点6：解一元二次方程-配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 知识点7： 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 知识点2：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点8：一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【经典例题一 一元二次方程的定义与一般形式】 【例1】（2024上·新疆伊犁·九年级统考期末）下列方程，是一元二次方程的是（  ） ①，②，③，④． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．2，，0 D．2，， 2．（2020上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）一元二次方程的化为一般形式是 ． 3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 【经典例题二 一元二次方程的解】 【例2】（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）是关于的一元二次方程的解，则的值是（     ） A． B．1 C． D．2 【变式训练】 1．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·四川广安·九年级统考期末）已知a是方程一个根，则的值为 ． 3．（2023上·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【经典例题三 用直接开方法解一元二次方程】 【例3】（2023·山东淄博·校考二模）