上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年上海市上海华师大第二附属中学高二年级上学期 期末数学试卷 2024.1 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.若，且， 　　（填一符号） 2.直线的倾斜角的大小为______. 3.高为3、底面半径为1的圆锥的体积为______. 4.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______. 5.已知抛物线的焦点为，在上有一点满足，则点到轴的距离为______. 6.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为______. 7.点在圆外，则直线与该圆的位置关系为______. 8.已知直线与抛物线交于两点，且为原点），则抛物线方程为______. 9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了三种圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为______. 10.已知直线，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为______. 11.定义两个相交平面夹角为两个平面所组成的四个二面角的最小值．已知平面与所成的角为，为外一定点，过点的一条直线与所成的角都是，则这样的直线有______. 12.已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.若直线与直线平行，则　　 A． B．0 C．1 D．1或 14.如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为　　 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 15.已知点，点为椭圆上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 16.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是　　 ① ② ③ ④ A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆． （1）求的面积； （2）若直线交于两点，求． 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在长方体中（如图），，点是棱的中点． （1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体是否为鳖臑？并说明理由； （2）求直线与直线所成角的大小． 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）设椭圆与双曲线有相同的焦点是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程； （2）如图，已知“盾圆” 的方程为设“盾圆” 上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，．沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥． （1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； （2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2． （1）求双曲线的标准方程； （2）点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中． （ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？ （ⅱ）证明：不可能是的三等分线． 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市上海华师大第二附属中学高二年级上学期 期末数学试卷 2024.1 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.若，且， 　　（填一符号） 【答案】 【