5.1.1 复数的概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第五章 复数 §1　复数的概念及其几何意义　► 对应学生用书P94 1．1　复数的概念 [课程标准]　1.通过方程的解，认识复数．　2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、复数的有关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满足i2＝－1． 2．复数集 全体复数构成的集合称为复数集，记作C.显然RC. 3．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记作Im z. 记一记：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． 二、复数相等 两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d． 想一想：1.3i一定比2i大，这个说法正确吗？ 2．任意两个复数均不能比较大小，这个说法正确吗？ 提示：1.不正确，纯虚数不能比较大小． 2．不正确，当两个复数均为实数时，可以比较大小． 三、复数的分类 1．复数(a＋bi，a，b∈R)可以分类如下： 复数 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【基点小试】 1．复数1－i的虚部是(　　) A．－1 B．－i C．i D．1 解析：选A.因为复数为1－i，所以它的实部为1；虚部为－1. 2．设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝3，b＝1 C．a＝0，b＝1 D．a＝1，b＝3 解析：选C.由a＋1＋bi＝1＋i可得解得 3．若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为________． 解析：复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则解得m＝1. 答案：1 4．在复数1－2i，2＋，i，－5＋i，0，7＋(－2)i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？ 解：0，2＋为实数；1－2i，i，－5＋i，7＋ i为虚数；i为纯虚数． 对于1－2i，实部为1，虚部为－2； 对于i，实部为0，虚部为； 对于－5＋i，实部为－5，虚部为； 对于7＋i，实部为7，虚部为－2. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　复数概念的理解 　【练一练】 1．(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数 解析：选ABD.A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数． B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n. C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数． 2．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．复数z＝0的实部和虚部均为0 B．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 C．－(2－i)的虚部是 D．方程x2＋4＝0的解是x＝2i 解析：选AC.由于复数z＝0＝0＋0i，因此A正确；在B中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故B错误；由－(2－i)＝－2＋i，可知其虚部是，故C正确；方程x2＋4＝0的解是x＝±2i，故D错误． 【悟一悟】 (1)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上 . (2)对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部． (3)复数a＋bi(a，b∈R)的虚部是实数b而非bi. 题型二　两个复数相等 例1.分别求满足下列条件的实数x，y的值． (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i； (2)＋(x2－2x－3)i＝0. 解：(1)因为x，y∈R，2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， 则有解得 (2)因为x∈R，＋(x2－2x－3)i＝0，于是得解得x＝3. [总结] 　复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化