2.6.1 第1课时 余弦定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§6　平面向量的应用　　　　　► 对应学生用书P60 6．1　余弦定理与正弦定理 [课程标准]　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定 理．　2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 第一课时　余弦定理 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．余弦定理 文字 语言 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 符号 语言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A， b2＝a2＋c2－2ac__cos__B， c2＝a2＋b2－2ab__cos__C 定理 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 2.三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素 三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 想一想：已知A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一个点C，通过测量计算得AC，BC的长度和∠ACB的大小，你能据此求出AB吗？ 提示：在△ABC中，利用余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB cos ∠ACB，代入数值计算并开方即可． 3．三角形的面积公式 任意三角形的面积等于其两边及其夹角正弦乘积的二分之一，即S＝bcsin__A＝acsin__B＝absin__C． 记一记：(1)余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． (2)解三角形 ①一般地，三角形的三个内角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素． ②已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． (3)判断三角形的形状时经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. (4)三角形的其他面积公式 ①S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高). ②S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径). 说明：三角形的面积公式S＝ab sin C与原来的面积公式S＝ah(h为a边上的高)的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中边a上的高． 【基点小试】 1．在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝(　　 ) A．1 B．2 C． D． 解析：选D.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12＋22－2×1×2×＝3， ∴ b＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，b＝7，c＝5，则sin C＝(　　 ) A. B． C． D． 解析：选C.因为a＝6，b＝7，c＝5， 所以cos C＝＝＝， 则C为锐角，故sin C＝＝. 3．在△ABC中，B＝45°，AC＝2，AB＝，则边BC的长等于(　　) A．＋1 B．－1 C． D．2 解析：选A.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cosB，即BC2－2BC－2＝0，解得BC＝＋1(负值舍去). 4．已知△ABC的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.由已知得△ABC三边a，b，c分别为2，3，4，则∠C最大，所以cos C＝＝＝－. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　利用余弦定理解三角形 例1.(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a. (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a. 解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3，所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理，得cos A＝＝＝0，所以A＝90°，所以C＝60°. [总结]　(1)若已知角是两