2.5.2 向量数量积的坐标表示&2.5.3 利用数量积计算长度与角度-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

5．2　向量数量积的坐标表示　5．3　利用数量积计算长度与角度► 对应学生用书P57 [课程标准]　1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．　2.能用坐标表示平面向量垂直的条件． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．平面向量模的坐标形式 (1)设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝． (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝． 3．平面向量垂直的充要条件的坐标表示 设a，b是非零向量，a＝，b＝，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．平面向量夹角的坐标表示 设a＝，b＝，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝(|a||b|≠0). 记一记：1.与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)，则a0＝(，). 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量b在向量a方向上投影的数量的坐标形式为. 【基点小试】 1．(多选)已知向量a＝，b＝，则(　　 ) A．a－2b＝ B．＝2 C．⊥b D．a与b的夹角为 解析：选BC.对于A，a－2b＝－2＝，A错； 对于B，＝2，＝1，则＝2，B对； 对于C，a·b＝－1，故·b＝a·b＋b2＝－1＋1＝0，所以⊥b，C对； 对于D，cos 〈a，b〉＝＝－， ∵0≤〈a，b〉≤π，故〈a，b〉＝，D错． 2．已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝，e2＝． (1)求a·b，； (2)求a与b的夹角的余弦值． 解：(1)因为e1＝，e2＝，所以a＝，b＝，a＋b＝， 则a·b＝3×4＋×1＝10，＝＝5. (2)由(1)得＝＝，|b|＝＝， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　平面向量数量积的坐标运算 角度1　已知向量的坐标求数量积 　　　　　　　　　　　　　　　 例1.已知a＝，b＝，c＝，分别求下列各式的值： (1)a·b；(2)·；(3)a·；(4). 解：(1)a·b＝·＝－4＋12＝8. (2)·＝·＝0－7＝－7. (3)a·＝·＝－6＋6＝0. (4)a＋b＝，所以＝49. [总结] 　平面向量数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． 角度2　以几何图形为背景的数量积的坐标运算 例2.在Rt△ABC中，BC＝1，斜边AB＝2，点P满足＝2，则·＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.如图建立直角坐标系， 则A(0，)，B(1，0)，C(0，0)，所以＝(1，－)， 设P(x，y)，则＝(－x，－y)，因为＝ 2，所以(1，－)＝2(－x，－y)， 解得x＝－，y＝，所以P(－，)，所以＝(，－)，＝(，)， 所以·＝－＝－. 【练一练】 1．(2023·湖南师大附中高一检测)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为2的等边三角形，点P为边BD上一动点，则·的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.由题意可知，△BCD为等边三角形，则有∠DBC＝60°，∠ABD＝30°， 在Rt△ABD中，AD＝BD×tan 30°＝2×＝2，AB＝2AD＝4. 如图以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则有A，C，由于∠DBC＝60°，故可设P点坐标为，且0≤x≤， 所以＝，＝， 所以·＝x(x－2)＋x＝4x2－6x＝4(x－)2－， 因为0≤x≤，当x＝时，4(x－)2－取得最小值－， 当x＝0 时，4(x－)2－取得最大值为0，所以－≤·≤0. 2．(2021·北京高考)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝ ________；a·b＝________． 解析：以a，b交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a＋b＝， ∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0， a·b＝2×2＋1×