2.5.1 向量的数量积-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§5　从力的做功到向量的数量积　　　► 对应学生用书P52 5．1　向量的数量积 [课程标准]　1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．　 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、向量的数量积的定义 向量a与b的夹角为θ(也可记作〈a，b〉)，|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 二、投影向量和投影数量 1．投影向量 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A作AA′⊥OB，垂足为A′，得到向量γ＝，γ称为a在b上的投影向量． 2．投影向量的数量 |a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，|a|cos 〈a，b〉＝|a|·＝a·. 记一记：1.两向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值可正、可负、可为0.两个非零向量的数量积符号由夹角的余弦值决定． 2．两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、 b的乘积ab(或a·b)是不同的． 3．若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe. 三、数量积的运算性质 1．数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2．数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos 〈a，e〉； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； (3)a·a＝|a|2，即|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 想一想：向量的数量积满足消去律吗？ 提示：不满足．由a·b＝a·c不一定能得到b＝c. 记一记：1.(a·b)c＝a(b·c)不一定成立. 因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，如果c与a不共线，则式子不成立，即数量积不适合乘法结合律． 2．在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0. 3．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量，该推理是不正确的，即a·b＝b·c⇒/ a＝c，也就是说数量积不适合消去律. 【基点小试】 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B.由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3. 2．已知向量a，b满足＝2，a·b＝－1，则a·(a－2b)＝(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C.由平面向量数量积的运算性质可得，a·＝a2－2a·b＝|a|2－2a·b＝22－2×＝6. 3．已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为O，则·＝____________． 解析：因为正六边形ABCDEF边长为1，其中心为O，所以〈，〉＝120°，||＝||＝1，所以·＝1·1·cos 120°＝－. 答案：－ 4．如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角． (1)与； (2)与. 解：(1)与的夹角是∠EDF＝60° . (2)因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120° . 5．已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： (1)(a－b)·(a－b)； (2)(2a＋b)·(a－b). 解：(1)(a－b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. (2)因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°， 所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　向量数量积的计算 例1.(1)(2023·四川泸州高一检测)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　 ) A．