2.4.1 平面向量基本定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　平面向量基本定理及坐标表示　► 对应学生用书P45 4．1　平面向量基本定理 [课程标准]　理解平面向量基本定理及其意义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基、正交基和标准正交基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}．若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 【基点小试】 1．下列有关平面向量基本定理的四个命题中错误的是(　　) A．一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基 B．一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．平面的一组基可能互相垂直 D．一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合 解析：选A.根据平面向量基本定理知一个平面内任何一对不平行的向量都可作为表示该平面所有向量的基，故A错误；一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基，故B正确；平面向量的一组基只要不共线，也可能互相垂直，故C正确；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，故D正确． 2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量的基的是(　　) A．{，} B．{，} C．{，} D．{，} 解析：选D.由于，不共线，所以可作为一组基． 3．如图所示，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析：选B.＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b. 4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　) A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4 解析：选D.因为e1与e2不共线，所以解得 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　基的理解 【练一练】 1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 解析：选D.对于A，设e1＋e2＝λe1，则所以无解； 对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则所以无解； 对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则所以无解； 对于D，设e1＋3e2＝λ(6e2＋2e1)，则解得λ＝，所以两向量是共线向量，故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基． 2．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为一组基的是(　　) A．a＝0，b＝e1＋e2 B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2 C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2 D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2 解析：选C.对于A，零向量与任一向量均共线，所以这两个向量不可以作为一组基； 对于B，因为a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2，所以a＝3b，所以这两个向量不可以作为一组基； 对于C，设a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋e2)，则所以无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基； 对于D，因为a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2，所以 a＝b，所以这两个向量不可以作为一组基． 【悟一悟】 关于平面内基的理解 两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作为一组基；反之，则可作为一组基． 题型二　用基表示向量 角度1　利用平面图形中的基表示向量 　　　　　　　　　　　　　　　 例1.如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基表示向量与. 解：在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC， 所以＝＋＝＋＝＋＝b＋a，＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b. [总结]　用几何图形中的基表示向量的方法 用几何图形中的基表示向量主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算，因此求解时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量． 角度2　用已知向量表示未知向量 例2.设e1，e2是平面内一组基，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e