2.3.1 向量的数乘运算&2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

3．1　向量的数乘运算　3.2　向量的数乘与向量共线的关系 [课程标准]　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．　2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、向量的数乘运算 1．定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0． (2)|λa|＝|λ||a|.这种运算称为向量的数乘． 由(1)(2)可知，(－1)a＝－a． 2．单位向量： 在非零向量a方向上的单位向量是. 记一记：1.数乘的理解 (1)数乘向量的结果仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数； (2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0； (3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 2．向量数乘的几何意义是把向量a沿着a的方向或反方向放大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向放大(λ＞1)或缩小λ倍；当λ＜0时，沿着a的反方向放大(|λ|＞1)或缩小|λ|倍． 二、向量数乘的运算律 1．设λ，μ为实数，a，b为向量，那么 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b． 三、共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb． 想一想：实数与向量的积与原向量之间的位置有怎样的关系？ 提示：若a≠0，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反，即λa与a是共线向量； 　若a＝0或λ＝0，因为0与任意向量平行，所以λa与a是共线向量． 【基点小试】 1．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　) A．a－2b B．－2b C．0 D．b－a 解析：选B.原式＝2a－2a－b－b＝－2b. 2．点C在直线AB上，且＝3，则 等于(　　) A．－2 B． C．－ D．2 解析：选D.如图，＝3，所以＝2. 3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：选B.因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n. 4．如果c是非零向量，且a＝－2c，3b＝c，那么 a，b的关系是(　　) A．相等 B．共线 C．不共线 D．不能确定 解析：选B.因为a＝－2c，3b＝c且c为非零向量，所以a＝－6b，所以a与b共线且方向相反． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　向量的线性运算 例1.化简：(1)5＋4； (2)6－4； (3)； (4)－. 解：(1)5＋4＝10a－10b＋8b－12a＝－2a－2b. (2)6－4＝6a－18b＋6c＋4a－4b＋4c＝10a－22b＋10c. (3)＝＋a－＝3a＋b. (4)－＝(x－y－x＋y)a＋b＝2b. [总结] 　向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 【练一练】 1．若a＝b＋c，化简3－2－2的结果为(　　 ) A．－a B．－4b C．c D．a－b 解析：选A.3－2－2＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝b＋c－2b－2c＝－＝－a． 2．若2－＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝______． 解析：因为2－＋b＝2y－a－c－b＋y＋b＝3y－a＋b－c＝0， 所以3y＝a－b＋c，所以y＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 题型二　用已知向量表示未知向量 例2.如图