2.2.1 向量的加法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　从位移的合成到向量的加减法　► 对应学生用书P35 2．1　向量的加法 [课程标准]　借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、向量加法的定义及其运算法则 1．定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法． 对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则 法则 内容 图示 三角 形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 口诀：首尾相连连首尾 平行四 边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 口诀：同起点，连对角 想一想：当向量a，b是两个非零的共线向量时，如何求两个向量的和向量？ 提示：当向量a，b是共线向量时，不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量，但可以用三角形法则作出两个向量的和向量，分两向量同向和反向两种情形： ①同向： ＝a＋b； ②反向： ＝a＋b. 记一记：1.三角形法则与平行四边形法则的区别与实质 (1)区别：三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”． 三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． (2)实质：三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法本质上是一致的． 2．拓展：已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 二、|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立． 三、向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【基点小试】 1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由向量加法的三角形法则可得． 2．化简＋＋＝(　　) A．0 B．0 C． D． 解析：选B.＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＝________． 解析：由平行四边形法则可知＋＝. 答案： 4．已知＝3，＝5，则向量a＋b模长的最大值是____． 解析：∵≤＋＝3＋5＝8， ∴的最大值为8. 答案：8 5．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________． 解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　求作向量和 例1.(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b； (2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. 解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b. (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b. [总结] 　求作向量和的方法 (1)利用三角形法则； (2)利用平行四边形法则． 【练一练】 1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c. 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图， 则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c，即为所作向量． 题型二　向量加法的运算律 例2.设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋＋； (3)＋＋＋＋. 解：根据向量的加法法则，得 (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝0＋0＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. [总结] 　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的，实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以 按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【练一练】 2.如图，六边形ABCDEF为边长为1的正六边形，O为其几何中心． (1)化简＋； (2)化简＋； (3)化简＋； (4)求向量＋＋的模． 解：(1)根据向量的平行四边形法则得＋＝； (2)根据题意，＝，＝，所以＋＝＋＝； (