第1章末总结 （一）三角函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

章末总结　(一)三角函数　　　　　► 对应学生用书P29 　高频考点聚焦 考点一　三角函数的定义 只要角α的顶点在坐标原点、始边在x轴的非负半轴上，角α终边上异于坐标原点的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 例1. 已知角θ终边上有一点P(tan ，2sin (－))，则cos θ的值为(　　 ) A． B．－ C．－ D． 解析：选D.因为tan ＝，sin (－)＝sin (－2π－π＋)＝sin (－π＋)＝－sin (π－)＝－sin ＝－，所以P(，－1)， 故cos θ＝＝. 考点二　三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式有两个要点： (1)公式两端的函数名称． (2)符号．对＋α(k∈Z)，其中α为锐角，遵循“奇变偶不变，符号看象限”的规律，奇、偶指的是k为奇数、偶数，变与不变是指公式两端函数的名称，象限是指当α为锐角时角＋α(k∈Z)所在的象限，符号是指公式右端的符号，如sin (＋α)，当 k＝3(奇数)时，＋α为第四象限角，在第四象限正弦值为负，故 sin (＋α)＝－cos α. 例2. 若tan (π＋α)＝，则＝(　　 ) A．1 B．7 C．－7 D．－1 解析：选B.由tan (π＋α)＝，得tan α＝， 所以＝＝＝＝7. 考点三　三角函数的性质 1．三角函数的周期性：函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为. 2．三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋B的形式． 3．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x，cos x的有界性． (2)从y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 4．求三角函数的单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． 例3. 设函数f(x)＝sin (ωx－)，其中0<ω<3，已知f()＝0. (1)求ω以及函数y＝f(x)的单调递增区间、对称轴、对称中心； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值． 解：(1)由于f(x)＝sin (ωx－)以及f()＝0， 所以－＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋2，k∈Z， 又0<ω<3，所以ω＝2，因此f(x)＝sin (2x－). 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z). 由2x－＝kπ＋知x＝＋(k∈Z)， 即函数的对称轴方程是x＝＋(k∈Z). 由2x－＝kπ，k∈Z知x＝＋(k∈Z)，即函数的对称中心是(＋，0)(k∈Z). (2)由(1)得f(x)＝sin (2x－)， 所以g(x)＝sin (x＋－)＝sin (x－)， 因为x∈，所以x－∈， 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－. 考点四　三角函数的图象 (1)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常利用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ. (2)由图象上的关键点确定φ时，若选取的是图象与x轴的交点，则要弄清这个点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可． (3)函数y＝sin (ωx＋φ)(ω≠0)图象的平移变换，要明确变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝A sin x到y＝A sin (x＋φ)的变换量是|φ|个单位长度，而函数y＝A sin ωx到y＝A sin (ωx＋φ)时，变换量是||个单位长度． (4)涉及与三角函数有关的零点个数问题，常借助三角函数图象，利用数形结合思想求解． 例4. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋