1.8 三角函数的简单应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§8　三角函数的简单应用　　　　　► 对应学生用书P26 [课程标准]　1. 会用三角函数解决简单的实际问题．　2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、构造三角函数模型 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 二、三角函数在解决简单的实际问题 1．在物理学中，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)(x∈[0，＋∞))描述简谐运动的物理量． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 【基点小试】 1．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为(　　) A．y＝v0t B．y＝v0t sin θ C．y＝v0t sin θ－gt2 D．y＝v0tcos θ 解析：选C.由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，故炮弹上升的高度y＝v0t sin θ－gt2，故选C. 2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________． 解析：∵f(t)＝24sin 160πt＋110，∴T＝＝＝，f＝＝80， ∴此人每分钟心跳的次数为80. 答案：80 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______s往返一次． 解析：观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次． 答案：0.8 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　匀速圆周运动的数学模型 例1. 摩天轮轮盘直径为124 m，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145 m，匀速转动一周大约需要30 min.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． (1) 经过t min后游客甲距离地面的高度为H m，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，|φ|≤)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52 m? 解：(1)因为该摩天轮轮盘直径为124 m，且摩天轮最高点距离地面145 m， 所以摩天轮最低点距离地面145－124＝21(m)，即H(t)max＝145，H(t)min＝21， 所以解得 又摩天轮匀速转动一周大约需要30 min，所以H(t)的最小正周期为T＝30， 所以ω＝＝＝，所以H(t)＝62sin (t＋φ)＋83. 又H(0)＝62sin φ＋83＝21，所以sin φ＝－1. 因为|φ|≤，所以φ＝－， 所以H(t)＝62sin (t－)＋83＝－62cos t＋83， 所以摩天轮转动一周的解析式为H(t)＝－62cos t＋83(0≤t≤30). (2)由(1)知，H(t)＝－62cos t＋83(0≤t≤30)， 令－62cos t＋83＝52，解得cos t＝. 要求摩天轮第一次距离地面的高度为52 m，所以0≤t≤15， 所以0≤t≤π，所以t＝，所以t＝5， 即游客甲坐上摩天轮后5 min，距离地面的高度第一次恰好达到52 m. [总结] 　实际问题中的匀速圆周运动如摩天轮上的一点离开地面的高度就是点P的纵坐标加上摩天轮中心与地面的距离，解类似问题时要注意初始位置的确定方法，即φ值的确定方法，它是x轴的正半轴到初始位置所成的角． 【练一练】 1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，且当圆O上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间． (1)根据如图所示的平面直角坐标系，将点P到水面的距离h(单位：m，在水面下，h为负数)表示为时间t(单位：s)的函数，并求当t＝13时，点P到水面的距离； (2)在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4 m的时间有多长？ 解：(1)筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为＝(rad/s)，故h(t)＝4sin (t－)＋2，t≥0. 当t＝13时，h(13)＝4sin (－)＋2＝2，故点P到水面的距离为2 m. (2)点P从P0开始转动的一圈，所用时间t0＝12，令h(t)＝4sin (t－)＋2≥4，其中t∈，解得2≤t≤6，