1.7 正切函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§7　正切函数　　　　　► 对应学生用书P23 [课程标准]　1.掌握正切函数的定义，理解并掌握正切函数的诱导公式．　2.掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，提升数学运算素养． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、正切函数的定义 比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}． 二、正切函数的诱导公式 角x 函数y＝tan x 记忆口诀 kπ＋x(k∈Z) tan x 函数名不变， 符号看象限 －x －tan x π－x －tan x π＋x tan x ＋x － －x 三、正切函数的图象与性质 性质函数 y＝tan x 图象 定义域 {x∈R|x≠＋kπ， k∈Z} 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单 调 性 递增区间 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z) 递减区间 无 对称中心 (，0)(k∈Z) 【基点小试】 1．函数y＝tan (－x)的定义域是(　　) A．{x|x≠，x∈R} B．{x|x≠－，x∈R} C．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R} D．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R} 解析：选D.要使函数有意义，则x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠kπ＋(k∈Z)，据此可得函数y＝tan (－x)的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}． 2．函数y＝3tan (2x＋)的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．3 解析：选A.y＝3tan (2x＋)的最小正周期为T＝. 3．若角α的终边与单位圆的交点为P(－，)，则tan α＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选B.因为角α的终边与单位圆的交点为P(－，)，所以P(－，)为角α的终边上的一点，所以tan α＝＝－. 4．求值：tan 600°＝________. 解析：由诱导公式可得tan 600°＝tan (360°＋240°)＝tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　正切函数的定义 例1. (1)若sin θcos θ>0，<0，则角θ的终边在(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.根据sin θcos θ>0，可知角θ的终边可能在第一或第三象限，再根据<0，可知角θ的终边可能在第三或第四象限，故角θ的终边在第三象限． (2)角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－，则tan α＝________，＝________． 解析：由题意知cos α＝＝－，所以b＝±3.又cos α＝－<0，sin α＝>0， 所以点P在第二象限，所以b＝3， 所以tan α＝－. 由于tan α＝，因此＝＝＝＝16. 答案：－　16 [总结] 　(1)已知角α终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置． (2)正切函数在各个象限内的符号：在第一、第三象限为正数，在第二、第四象限为负数． (3)形如(abcd≠0)的与tan α有关的求值问题，可将分子分母同时除以cos α后构造与 tan α 有关的式子求解． 题型二　正切函数的诱导公式 例2. 求下列各式的值． (1)tan (－)； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°). 解：(1)tan (－)＝－tan ＝－tan (3π＋)＝－tan (π＋)＝－tan ＝－. (2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin 1 866°－sin (－606°)＝tan 10°－tan 10°＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝sin 66°－sin 66°＝0. [总结] 　利用诱导公式求值的一般方法： 【练一练】 1．tan (－)＝______. 解析：tan (－)＝－tan ＝－tan (2π＋)＝－tan ＝－tan (π＋)＝－tan ＝－. 答案：－ 2．求值：. 解：原式＝＝＝＝2－. 题型三　正切函数的图象与性质 角度1　正切函数的图象 例3. 作出函数y＝tan |x|的图象，判断函数的奇偶性及周期性． 解：因为y＝tan |x|＝ 所以当x≥0时，函数y＝tan |x|在y轴右侧