1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质　► 对应学生用书P10 [课程标准]　1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质．　2.掌握正弦函数、余弦函数的符号． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、正弦函数、余弦函数的定义域、值域与周期性 1．正弦函数、余弦函数的定义域 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 2．正弦函数、余弦函数的值域 正弦函数、余弦函数的值域均为[－1，1]. 当α＝2kπ＋，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1；当α＝2kπ－，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1. 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝2kπ＋π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1. 3．正弦函数、余弦函数的周期性 正弦函数、余弦函数均为周期函数，其周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π. 二、正弦函数、余弦函数的单调性 正弦函数在区间[2kπ－，2kπ＋] (k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z)上单调递减；余弦函数在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减． 三、正弦函数值和余弦函数值的符号 1．当角α的终边在第一象限、y轴的正半轴、第二象限时，sin α>0；角α的终边在第三象限、y轴的负半轴、第四象限时，sin α<0. 2．当角α的终边在第四象限、x轴的正半轴、第一象限时，cos α>0；角α的终边在第二象限、x轴的负半轴、第三象限时，cos α<0. 正弦函数、余弦函数的记忆口诀：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负． 【基点小试】 1．若cos α＝，则cos (2π＋α)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.cos (2π＋α)＝cos α＝. 2．函数y＝πsin x的最大值与最小值的差为(　　) A．π B．－π C．2π D．－2π 解析：选C.y＝πsin x的最大值为π，最小值为－π，所以差为2π. 3．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.由条件可知sin θ<0，cos θ>0，则θ为第四象限角． 4．(多选)下列式子正确的是(　　) A．sin <sin B．cos <cos C．sin >cos D．sin >cos 解析：选BD.由于当x∈[0，]时，正弦函数单调递增，余弦函数单调递减，因此B正确，A不正确；sin <0，cos >0，因此C错误；sin >0，cos <0，因此D正确． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　正弦函数、余弦函数的定义域 例1. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥； (2)cos α≤－. 解：(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． (2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． [总结] 　利用单位圆与正弦函数、余弦函数的定义，可以非常直观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的角的范围，起到“以形助数”的作用． 【练一练】 1．求下列函数的定义域． (1)y＝； (2)y＝lg (－sin x). 解：(1)要使函数有意义，则2cos x－1≥0， 所以cos x≥. 如图，作直线x＝与单位圆相交于点A，B，且∠xOA＝，∠xOB＝－，终边落在图中所示的阴影区域内的每一个角x，其余弦值均大于或等于，因而满足cos x≥的角的集合为{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}，所以原函数的定义域为[－＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z). (2)为使y＝lg (－sin x)有意义，则－sin x>0，所以 sin x<，所以角x的 终边所在区域如图所示， 所以2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以原函数的定义域是{x|2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z}． 题型二　正弦函数、余弦函数的最值 例2. (1)求函数y＝－2sin x，x∈[－，)的值域； (2)求函数y＝－cos x，x∈[， ]的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的自变量x的值． 解：(1)在单位圆中，[－，)范围内