1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质　► 对应学生用书P8 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [课程标准]　1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．　2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α． 二、利用角的终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：如图所示，设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么： (1)比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝. (2)比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝. 三、正弦函数、余弦函数在各象限的符号 三角函数 象限 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　由单位圆求正弦函数值、余弦函数值 　　　　　　　　　　　　　　　　【练一练】 1．(2023·四川凉山期末)已知点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　 ) A．－ B． C．－ D．－ 解析：选B.因为点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝ . 2．已知角θ(0<θ<2π)的终边上一点P的坐标为(cos ，sin )，则角θ的值为(　　 ) A．－ B． C． D． 解析：选B.由已知可得：角θ的终边上一点P的坐标为(－，)，位于第二象限， 它到原点的距离为r＝＝1，<θ<π， 则由任意角的三角函数的定义可知：sin θ＝，即θ＝. 3．(2023·吉林长春实验中学期末)点P从点(－1，0)出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是(　　 ) A．(－，) B．(，－) C．(－，) D．(，－) 解析：选C.根据题意得OQ为终边的一个角为， 设Q(x，y)， 根据三角函数的定义可得sin ＝y，cos ＝x，则y＝，x＝－，所以Q(－，). 题型二　由角的终边上的点求角的三角函数值 【练一练】 4．(2023·山东临沂期末)已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角α的终边上一点P(1，－2)，则sin α＝(　　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.因为角α的终边过一点P(1，－2)，所以sin α＝＝＝－＝－. 5．(2023·广东广州期末)若cos α＝，且角α的终边经过点P(x，－2)，则P点的横坐标x是(　　 ) A．2 B．±2 C．2 D．－2 解析：选A.由三角函数的定义可得：cos α＝＝(x>0)，解得x＝2. 6．已知角α的终边落在射线y＝2x(x>0)上，求sin α，cos α的值． 解：设射线y＝2x(x>0)与单位圆x2＋y2＝1的交点为P(x，y)， 则解得即P(，)， 由三角函数的定义，可得sin α＝y＝，cos α＝x＝. 题型三　正弦函数值、余弦函数值的符号及范围 【练一练】 7．若sin α<0，cos α<0，则α是(　　 ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选C.因为sin α<0，所以α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴，因为cos α<0，所以α是第二象限角或第三象限角或终边在x轴非正半轴，所以α是第三象限角． 8．已知角α的终边过点P(sin 2，cos 2)，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选D.由已知角α的终边过点P(sin 2，cos 2)， 因为<2<π，所以sin 2>0，cos 2<0， 故角α的终边在第四象限， ∴α是第四象限角． 9．在△ABC中，若sin A·cos B<0，则这个三角形的形状是