1.3 弧度制-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　弧度制　　　　　　　　► 对应学生用书P6 [课程标准]　1.了解弧度制，能进行弧度与角度的互化．　2.体会引入弧度制的必要性． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、弧度概念 度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 弧度制 1弧度的角 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角．其单位用符号rad表示，读作弧度 定义 以弧度作为单位来度量角的方法 二、弧度与角度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0．017 45 rad 1 rad＝≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 三、弧度数公式、弧长公式和扇形面积公式 1．弧度数公式为：α＝. 2．设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，α＝n°，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　 ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　 ) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　 ) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列转化结果错误的是(　　) A．60°化成弧度是 B．－π化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° 解析：选C.对于A，60°＝60×＝； 对于B，－＝－×180°＝－600°； 对于C，－150°＝－150×＝－π； 对于D，＝×180°＝15°.故C项错误． 3．在半径为a的圆中，60°的圆心角所对的弧长为________． 解析：60°的圆心角的弦度数为，由θ＝得l＝θa，即l＝·a＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　角度制与弧度制的互化 【练一练】 1．(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．60°化成弧度是 B．化成角度是15° C．1°化成弧度是 D．1 rad化成角度是 解析：选BD.对于A，60°化成弧度是，所以A错误；对于B， rad化成角度是15°，所以B正确；对于C，1°化成弧度是，所以C错误；对于D，1 rad化成角度是，所以D正确． 2．把下列弧度化为角度． (1)＝________； (2)－＝________． 解析：(1)＝°＝690°. (2)－＝－°＝－390°. 答案：(1)690°　(2)－390° 3．把下列角度化为弧度． (1)－1 500°＝________； (2)22°30′＝________． 解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π. (2)22°30′＝22.5°＝22.5×＝. 答案：(1)－　(2) 【悟一悟】 　角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键． (2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数． (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． (4)角度化为弧度时，其结果写成π的形成，没特殊要求不必化成小数． 题型二　用弧度制表示终边相同的角 例1.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图). 解：(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z). ∴阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}． (2)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2， 则M1＝， M2＝. ∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝{α|2kπ＜α＜＋2kπ或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}． [总结] 用弧度表示与α终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)的注意点 (1)2kπ是2π(一周角的大小)的整数倍，而不是π的整数倍； (2)角度制与弧度制不能混用，如60°＋2kπ(k∈Z)是错误的． 【练一练】 1．用弧度制表示与角300°的终边相同的角的集合为____________________． 解析：300°＝300×＝，故与角300°终边相同的角的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}． 答案： 题型三　扇形弧长和面积公式 例2.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是