1.2 任意角-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　任意角　　　　　► 对应学生用书P3 [课程标准]　1.了解任意角的概念．　2.理解并掌握终边相同的角、象限角的概念． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、任意角的概念 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，在不引起混淆的前提下，也可简记成“α”． 3．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 二、平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角 轴线角 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相 同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和 想一想：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角， 并说明是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？ (1)－32°；(2)328°；(3)－392°. 提示：都是第四象限角，这些角相差360°的整数倍数． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　　 ) (2)终边与始边重合的角为零角．(　　 ) (3)大于90°的角都是钝角．(　　 ) (4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的角度是120°.(　　) 解析：(1)－120°小于90°，不是锐角，错误． (2)逆时针旋转一周，终边与始边重合，角的大小为360°不是零角，错误． (3)210°大于90°，不是钝角，错误． (4)分针是顺时针旋转，是负角，错误． 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．与－457°角的终边相同的角的集合是(　　 ) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 解析：选C.由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　任意角的概念 【练一练】 1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　) A．150° B．－150° C．390° D．－390° 解析：选B.各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°. 2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° 解析：选B.由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°. 3．下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③钝角比第三象限角小； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为________(填序号). 解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确； ③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． 答案：② 【悟一悟】 　对任意角的理解 对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型二　终边相同的角的表示及应用 例1.已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角并判定它是第几象限的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． 解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边