12.1 实数的概念（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

21.1 实数的概念 2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件 如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数： (其中q≠0).从古埃及到古代中国的数学，都认为任何一个量，总可以用有理数来表示.但是，出生于公元前约470年的古希腊数学家希帕斯(Hippa-sus) 发现了一种实际存在的量，却不能表示为两个整数之比.当时，希帕斯所在的毕达哥拉斯(Pythagoras) 学派认为这不合常理，是一种怪异，传说他们把希帕斯扔到大海淹死了.后来人们知道，这是一个伟大的发现，是人类理性智慧的胜利. 现在让我们随着前人的脚步，通过对下列问题的探索和思考，初步认识实数，同时学习人类理性精神的光辉典范. 导入新课 一、说说你所认识的数有哪些？ 自然数 分数和小数 负数 有理数 ？ 二、数的扩充 在公园前400多年，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了一类新的数，例如面积为2、3、…的正方形的边长，它们用数学的严格说理方法，断定这些数都不是有理数，如圆周率π也不是有理数。 知识点1：实数的概念与分类 1.面积为4的正方形的边长为____; 2.面积为9的正方形的边长为___; 3.面积为 的正方形的边长为___. 问题1 2 3 问题1 4.面积为2的正方形存在吗？ 你能把两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的正方形吗？ 这个就是面积 为2的正方形 操作 如图所示，把边长为1的 两个正方形， 分别沿着它们的一条对角 线剪开，得到四个形状一 样的直角三角形，它们的 面积都是 ，再把这四个 直角三角形拼成一个正方形. 这个也是面积 为2的正方形 说明：面积为2的正方形是存在。 探究：面积为2的正方形的边长为多少呢？ 分析：设正方形的边长为x， 则：x2=2 x就是这样的一个数，它的平方等于2 这个数所表示的正方形的边长，是现实生活中真实存在的线段的长度。 由于这个数与2有关，我们用 表示，读作“根号2”。 面积为2正方形ABCD的边长是 . 问题2 那么怎么表示x呢？ 类似地：面积为a的正方形的边长等于 . 练习： 面积为3的正方形的边长是_______. 面积为4的正方形的边长是______. 面积为5的正方形的边长是______. 问题3 是有理数吗？ 前面已经说过有理数就是分数，我们还知道一个分数可 以表示为有限小数(包括整数),或者表示为无限循环小数. 但是，当年希帕斯发现 这个数肯定不能表示为分数.也 就是说， 不是有理数，那就不能是有限小数，也不能是无 限循环小数.于是， 只能是“无限不循环小数”了.这是 一种新的“数”,是我们要研究的对象. ≈1.41421356237309504880 问题4 无限不循环小数还有吗? 事实上，面积为3、5、6、7、8、10等的正方形的边长都是无限不循环小数，我们熟悉的圆周率π也是无限不循环小数.此外，我们还可以自己构造一些无限不循环小数.例如 ：0.101001000100001…(它的位数无限，相邻两个1之间0的个数依次加1个);0.123456789101112131415161718192021…(连续不断地依次写正整数)等. 无理数也有正、负之分.如 、π、0.1010010001… 等这样的数叫做正无理数(有时在这些数的前面加上“+” 号);如 、 -π、-0.1010010001…等这样的数叫做负无理数(这些数前面的“-”号不可省略). 只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. 知识总结 （1）定义：无限不循环小数叫做无理数(irrational number)． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率π、 的平方根等． （2）无理数与有理数的区别： ①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0， ＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ≈1.414213562． ②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． 知识总结 方法技巧 判断无理数，了解它的四种形式： ①开方开不尽的数， ②无限不循环小数 ③看上去有规律但实际不循环的小数，例如：0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． ④含有π的数，如分数 是无理数，因为π是无理数． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如 是有理数，而不是无理数． 思考：我们将有理数和无理数统称为实数. 你能仿照有 理数的分类给实数分类吗？ 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 正无理数 负无理数 有限