专题2 因数与倍数-2023-2024学年五年级下册数学计算大通关（苏教版）

专题2 因数与倍数 （知识精讲+典型例题+专题专练+拓展培优） 1、公因数的含义。 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。 2、求公因数、最大公因数的方法。 （1）求两个数的公因数，可以用列举法先找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找一个数的因数，再从这个数的因数中找出另一个数的因数。 （2）两个数的公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。 3、公倍数的含义。 两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的，但没有最大的，故两个自然数的公倍数的个数是无限的。 4、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数，先列举出较大数的倍数，再从较大数的倍数中找出较小数的倍数，确定这两个数的公倍数及最小公倍数。 考点一：最大公因数 方法总结： 1、一个数的因数的个数是有限的,所以几个数的公因数的个数也是有限的,其中最小的公因数都是1。 2、求两个数的最大公因数的方法: （1）列举法:先分别找出两个数的所有因数,再从中找出它们的公因数与最大公因数。 （2）筛选法:先找出较小数的所有因数,再从中找出哪些也是较大数的因数,从而找出两个数的公因数与最大公因数。 【例一】24的因数有（ ），42的因数有（ ），24和42的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。 【分析】 找一个数的因数，就是看哪两个自然数相乘得这个数，那这两个数就是这个数的因数，分别找出24和42的因数，比较即可得出公因数和最大公因数。 【详解】 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42； 比较24和42的因数可得：24和42的公因数有1、2、3、6；24和42的最大公因数是6. 故答案为：1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、3、6、7、14、21、42 ；1、2、3、6；6 【点睛】 本题主要考查找一个数因数的方法，解题时要按照一定的顺序寻找避免遗漏。 【例二】求48和72的最大公因数 【分析】 求最大公因数的方法 方法一：质因数分解法 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 方法二：短除法 短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】 48=2×2×2×2×3； 72=2×2×2×3×3； 2×2×2×3=24 所以48和72的最大公因数是24. 故答案为：24 【点睛】 本题考察了两个数的最大公因数求法，利用短除法更方便一些。 【专题专练一】找出下面每组数的最大公因数。 16和32            38和57            13和5 【分析】求两个数的最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数；如果两个数是互质数，最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，最大公因数是较小的数，据此解答。 【详解】16和32 16和32是倍数关系，最大公因数是16； 38和57 38＝2×19 57＝3×19 38和57的最大公因数是19； 13和5 13和5是互质数，最大公因数是1。 【专题专练二】用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和45 120和48 64和144 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，除以两个数的公因数，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。把所有的除数连乘起来就得到它们的最大公因数，把所有的除数和最后的两个商连乘起来就是它们的最小公倍数。 【解答】解： 所以18和45的最大公因数是，最小公倍数是 所以120和48的最大公因数是，最小公倍数是 所以64和144的最大公因数是，最小公倍数是 【点评】熟练掌握用短除法求最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 考点二：最小公倍数 方法总结： 1、一个数的倍数的个数是无限的,所以几个数的公倍数的个数也是无限的。 2、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种: （1）列举法:先分别找出两个数的倍数,再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 （2）筛选法:先找出较大数的倍数,再从中找出哪些也是较小数的倍数,从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 【例一】写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 9和54 11和8 36和12 56和42 【分析】 （1）两数有倍数关系：最大公因数就是较小数，最小公倍数就是较大数；（2）两数有互质关系：最大公因数就是 1，最小公倍数就是它们的乘积；