2.4.2圆的一般方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程 [课标解读]　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 教材要点 要点　圆的一般方程 1．圆的一般方程：当______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 状元随笔　 圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点________ D2＋E2－4F>0 表示以________为圆心，以________为半径的圆 状元随笔　圆的标准方程与一般方程的互化，如图所示． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　　) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　) 2．圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心坐标及半径分别为(　　) A．(－1，0)与 B．(1，0)与 C．(1，0)与2 D．(－1，0)与2 3．下列方程表示圆的是(　　) A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 4．若直线ax＋y＋1＝0经过圆x2＋y2＋x＋y－2＝0的圆心，则a＝(　　) A．1　　　B．2 C．3　　　D．4 5．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标(3，4)，则圆的半径是________． 题型 1　圆的一般方程的辨析 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 方法归纳 判定二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种方法 巩固训练1　(1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(　　) A．r＝1，(－2，1)　　　　B．r＝2，(－2，1) C．r＝2，(2，－1)　 D．r＝1，(2，－1) (2)若方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是________． 题型 2　求圆的一般方程 例2　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 方法归纳 求圆的方程的策略 巩固训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 题型 3　与圆有关的轨迹问题 例3　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 方法归纳 求与圆有关的轨迹问题的三种常用方法 巩固训练3　已知圆(x＋1)2＋y2＝2上动点A，x轴上定点B(2，0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程． 易错辨析　 因忽视验证造成增解而致错 例4　求以A(－2，0)，B(2，0)为直径端点的圆的内接三角形的顶点C的轨迹方程． 解析：设C的坐标为(x，y)． ∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径， ∴⊥，即·＝0.又＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)， ∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0. 又当x＝±2时，C与A或B重合，不构成三角形， ∴所求C点的轨迹方程为x2＋y2－4＝0(x≠±2)． 易错警示 易错原因 纠错心得 (1)在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况． (2)没有验证x＝±2是否满足题意． 求得点的轨迹方程后一定要检查题意中有没有限制条件，如本题构成三角形的条件． 2.4.2　圆的一般方程 新知初探·课前预习 要点 1．D2＋E2－4F>0　 2.　　 [基础自测] 1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．解析：x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)，半径r＝2. 答案：C 3．解析：对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆； 对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆； 对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵(－3)2＋12－4×