突破综合能力题（压轴题）-备战2024年新高考数学九省联考新题型专项突破

备战2024年新高考九省联考新题型专项突破 综合能力题 1．（2024·全国·校联考模拟预测）若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列． 2．（2024·全国·校联考一模）关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”. (1)证明：有唯一零点，且； (2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤： 在处作曲线的切线，交轴于点； 在处作曲线的切线，交轴于点； …… 在处作曲线的切线，交轴于点； 可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值. （i）设，求的解析式(用表示)； （ii）证明：当，总有. 3．（2024·全国·校联考模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式 伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明 4．（2024·江苏南通·模拟预测）已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得． 5．（2024·全国·校联考模拟预测）设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列” (1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？ (2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中 (3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值． 6．（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，，，四点的交比，记为． (1)证明：； (2)若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：； (3)已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上． 7．（2024·河北·校联考一模）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 8．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质. （1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？ （2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集； （3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由. 9．（2024·全国·校联考模拟预测）已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）. (1)若，求及； (2)若，求证：互不相同； (3)已知，若对任意的正整数都有或，求的值. 10．（2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，. （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：； （3）设，求证：. 11．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为 (1)若，求集合； (2)若，求集合； (3)设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列． 12．（2024·江西抚州·临川一中校考一模）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记. (1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由； (2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项； (3)若是数列，