7.3.5 已知三角函数值求角（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.3.5已知三角函数值求角 这就是本节课我们所要学习的内容—— 已知三角函数值求角 我们知道，那么当时， 1.掌握已知三角函数值求角的方法，会用已知的三角函数值求角.（重点） 2.牢记一些比较常见的三角函数值，并会用符号arcsin ,arccos, arctan表示角.（重点、难点） 3.单位圆与三角函数线 1.特殊角的三角函数值 2.正弦、余弦与正切在各象限的符号 复习回顾: x y o P M T A 我们把向量 分别叫做α的 余弦线、正弦线和正切线. 探究点1：利用正弦线求角 问题1：如果已知，你能求出满足条件的角吗？ x O y -1 -1 1 1 P M N 如图所示，作直线与单位圆交于点P和P’ 则角的终边可能是OP，也可能是OP’ 又因为 所以，或 . 问题2：如果已知，你能求出的取值范围吗？ P M N x O y -1 -1 1 1 如图所示，如果角的终边在POP’ 中，则 一定有. 所以，的取值范围是 . 问题3：如果已知，那么的取值范围是什么？ N x O y -1 -1 1 1 P M 如图所示，如果角的终边在P’ OP 中，则 一定有. 所以，的取值范围是 . 为保持角的大小关系正确，我们可以取终边OP’ 所表示的角为，终边OP所表示的角为. 也可表示为 追问：上面问题的解答也可借助正弦函数的图像—正弦曲线来完成，请大家自行尝试. 由图可知， 当时，满足的的取值范围是 由周期性可得完整解为 . 【提示】 y 1 -1 x O 探究点2：利用余弦线求角 x O y -1 -1 1 1 P 例1.已知,求. 【解析】如图所示，作直线与单位圆交于点P和P’ M 整体 则角的终边可能是OP，也可能是OP’ 又因为 所以，或 . 所以，或 . 思考：如果已知,，你能求出的取值范围吗？ P x O y -1 -1 1 1 如图所示，如果角的终边在POP’ 中，则一定有. 所以，的取值范围是 . 所以，的取值范围是 . 上面问题的解答也可借助余弦函数的图像 ——余弦曲线来完成，请大家自行尝试. 探究点3：利用正切线求角 O T A 1 例2.已知,求. 【解析】由可知，角对应的正切线的方向朝下，而且长度为1. -1 则角的终边可能是OT，也可能是OT’ 又因为 所以， . 令 得或. 所以，或. 思考：的解为？ x y O 1 -1 2 -2 3 -3 追问：上面问题的解答能否借助正切曲线来完成呢？ 【提示】 由图可知， 当时，满足的的取值范围是 由周期性可得完整解为 . 探究点4：反三角函数 任意给定一个 y∈[-1，1]，满足 sin x = y 的 x 在区间 [，] 内只有一个，利用计算器或计算机软件可以方便地求出这个 x 的值； 如图所示，此时要在区间 [，] 内求满足 sin x = 的 x 的值，只要输入 sin-10.5 即可. 问题1：若已知 = ，且 ∈[，]，求 的值. 在数学中，任意给定一个 y∈[-1，1]，当 sin x = y 且 x∈[，] 时，通常记作 x = arcsin y (反正弦函数)； 类似地，在区间 [0，π] 内，满足 cos x = y ( y∈[-1，1] ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arccos y，即 x = arccos y (反余弦函数)； 在区间 [，] 内，满足 tan x = y ( y∈R ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arctan y，即 x = arctan y (反正切函数). 反三角函数定义： 例3：计算下列反三角函数的值. （1）arcsin ； （2）arccos 0； （3）arctan 1. 【解析】 （1）arcsin = ； （2）arccos 0 = ； （3）arctan 1 = . ①正确找到三角函数线； 本节我们主要学习了： 1.已知三角函数值求角（解不等式） （1）三角函数图象法. （2）三角函数线法. ②熟记特殊角的三角函数值； ③写出满足条件的角. 2.反三角函数 $$