专题05：数列不等式问题-2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）

05 数列不等式问题 一、必备知识： 1.利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明； 2.数列满足，则是等差数列； 3.数列满足，为非零常数，且，则为等比数列； 4.在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解． 5.公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论． 6.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同． 常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 7.用错位相减法求和时的注意点： （1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 8.分组转化法求和的常见类型： （1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； （2）通项公式为，其中数列,是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； （3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题． 9.判断数列单调性的方法:（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）． 10.求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理） 方法1：利用数列的单调性； 方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小． 二、题组 题组一：放缩法 经典例题： 例1．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．若 恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】（1）∵，, ∴当时，，∴, 整理得： ,即为常数列, 由 ∴，显然对于也成立，∴，所以 ， ∴， 又因为恒成立，所以，即的最小值为 例2．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）. A．8 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【详解】由题意，即，即，又，， 即数列是以首项为9，公比为的等比数列，，即， ，， 则，即，又， 满足不等式的最小整数，即.故选：D. 所以，即的最小值为2. 变式训练： 1．记分别为数列前n项和,已知是公差为的等差数列.若恒成立，则的最小值为 ． 2．已知数列的前n项和且 ，若 恒成立，则的最小值为 ． 3．已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是 . 达标检测： 1．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是 . 2．已知等差数列的前项和为，且，，.记数列的前项和为，d若恒成立，则的最小值为 ． 3．已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是 ． 题组二：不等式法 经典例题： 例1．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则使成立的n的最小值为 ． 【答案】 【详解】由等差数列的性质可得：，则，设等差数列的公差为，从而有，,即 ，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.所以，所以，则不等式即，整理可得，解得或，又为正整数，故的最小值为. 例2．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，若时，恒成立，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】设等差数列公差为，而，则，，于是，解得， 所以，所以，， 当为偶数时，，， ， 时，恒成立. 当为奇数时，， ， 时恒成立 综上，若时，恒成立，则，所以的最小值为4. 例3．已知正项数列满足，，若存在m，，使得，则的最小值为 ． 【答案】64 【详解】因为，所以为等比数列，设的公比为，又因为，所以，解得或，因为，所以，所以， 因为，且m，，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：64 变式训练： 1．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，若时，恒成立，则的最小值为 ． 2.已知数列满足,，且的前项和,则的可能取值为（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 3．已知等比数列的前项和为，且，，若关于的不等式对恒成立，则实数的最大值为 ． 4．已知等比数列的前项和为，若，且.数列满足，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为 . 达标检测： 1．等差数列中，，，等比数列中，，，则满足