专题04：双拼数列与分组求和-2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）

04 双拼数列与分组求和 一、必备知识： 数列求和的常用方法: 1.公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2.分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. 3.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，． 4.倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 5.裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和． 常用的裂项方法： (1)； （2） ； （3）； （4） （5） 6.错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求. 二、题组： 题组一：双拼数列求和 例1．已知数列的通项，则的前n项和. 【答案】 【详解】由题意，当为偶数时，，， 当为奇数时，， 所以. 例2．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，则数列的前n项和为 ． 【答案】 【详解】设等差数列公差为，而，则，，于是，解得，所以，所以，， 当为偶数时，，， 当为奇数时，， 综上知：. 例3．已知，则的前25项的和为 . 【答案】 【详解】由，且， 则 故.故答案为：. 巩固练习： 1．已知数列的通项，则的前n项和. 2．已知数列满足，，则的前40项和为 . 3．已知数列满足：，设，则（    ） A． B． C． D． 达标检测： 1．已知数列的通项，则的前n项和. 2．已知数列满足，则的前20项和为 . 3．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．则数列的前n项和为 ． 题组二：双数列关联项求和 经典例题： 例1．已知数列为公差不为零的等差数列，且中的项组成的数列恰为等比数列，其中，则 . 【答案】 【详解】设首项为，公差为，因为，，，，恰为等比数列，其中，，，则，，得，公比， ，又，，.故答案为：． 例2．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则集合中所有元素之和为 . 【答案】1023 【详解】设由前12项构成的等差数列的公差为，从第11项起构成的等比数列的公比为， 由，解得或，又数列的各项均为整数，故，所以，所以，故.，所以，故集合中所有元素之和为. 例3．已知数列通项公式为，记为在区间中的项的个数，则数列的前项和． 【答案】 【详解】［方法一］：规律探索 由知，所以对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，．当时，，则 ． ［方法三］： 由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，． 所以． 所以数列的前100项和． 巩固练习： 1．已知数列，的前n项和分别为，，且，，若两个数列的公共项按原顺序构成数列，则 . 2．已知是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列，且,则集合中所有元素之和为 ． 达标检测： 1．已知为公差为的等差数列，是公比为2的等比数列，且,则集合中元素个数为 ． 2．已知等差数列的公差不为0，设，若，，，数列为等比数列，则下列选项中一定是数列中的项是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 双拼数列与分组求和 一、必备知识： 数列求和的常用方法: 1.公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②；