专题01 勾股定理重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 勾股定理重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 用勾股定理构造图形解决问题 题型四 勾股定理与无理数 题型五 勾股树问题 题型六 用勾股定理解三角形 题型七 已知两点坐标求两点距离 题型八 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 【知识梳理】 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（     ） 甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形 乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形 A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以 C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以 【变式训练】 1．（2023上·山东淄博·七年级校联考期中）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023下·全国·八年级阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 3．（2024上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． (1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明． (2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，，连接，，用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从而证明勾股定理．请你补充该证明过程． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（2024上·湖北·九年级校考周测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　） A．32 B．38 C．48 D．108 【变式训练】 1．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，分别在，上取点，，使得，得四边形．若大正方形的边长为，且，设四边形的面积为，正方形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·陕西渭南·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为2，中间小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 ．（结果保留根号） 3．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用图1证明勾股定理； (2)请利用图1说明，并说明等号成立的