6.2两角和与差的余弦公式（第1课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.2两角和与差余弦公式（第1课时） 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点) 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 我们在学习对数时知道 ， 对于正实数a 、 b， 一般ｌｇ（ a＋ b ） ≠ｌｇa ＋ｌｇb， 但可以用 a、 b 的对数来表示 ab或 （b≠０ ） 的对数 ，并可由此化简很多涉及对数的表达式 ． 类似地 ， 一般 ｓｉｎ （ α ＋ β ） ≠ｓｉｎ α ＋ｓｉｎ β 及 ｃｏｓ （ α － β ） ≠ｃｏｓ α －ｃｏｓ β ． 本节中 ， 我们要学习两个角的和与差的三角公式 ， 即学习如何用 α 、 β 的正弦 、 余弦及正切来表示 α ± β 的正弦 、 余弦及正切 ， 并在此基础上学习如何运用这组公式及其推论来化简有关的三角表达式 ， 为后面用三角知识解决各种具体问题做好准备 新课讲解 我们先推导两角差 （ α － β ） 的余弦公式 ．设 α 、 β 为任意给定的两个角 ， 把它们的顶点置于平面直角坐标系的原点 O ， 始边都与 x轴的正半轴重合 ， 而它们的终边分别与单位圆相交于 A、B两点 （ 图 ６-２-１ ） ． 点 A 、B的坐标分别为 A （ ｃｏｓ α ， ｓｉｎ α ）、 B（ ｃｏｓ β ， ｓｉｎ β ） 下面考虑角 （ α － β ） 的余弦 ． 为此把角 α 、 β 的终边 OA 及OB都绕原点O 旋转 － β 角 ， 它们分别交单位圆于点 A′ 及 B′（ 图 ６-２-２ ） ． 由于都转动了 － β 角 ， 因此 α － β 也可以是一个以射线 OB′ 为始边 、 以射线 OA′ 为终边的角 ， 而点 A′ 的坐标是（ ｃｏｓ （ α － β ）， ｓｉｎ （ α － β ））， 点 B′ 的坐标是 （ １ ， ０ ） ． 根据两点间的距离公式 ， 在图 ６-２-１ 中 ， 有 而在图 ６-２-２ 中 ， 有 因为将射线 OA、OB同时绕原点O旋转 － β 角 ， 就分别得到射线 OA′ 、 OB′ ， 所以｜ AB ｜＝｜ A′B′ ｜ ， 从而得到 ２－２ｃｏｓ α ｃｏｓ β －２ｓｉｎ α ｓｉｎ β ＝２－２ｃｏｓ （ α － β ）， 即 ｃｏｓ （ α － β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ β 这个式子对任意给定的角 α 及 β 都成立 ， 称为两角差的余弦公式 ． 在两角差的余弦公式中 ， 用 － β 代换 β ， 就可得到两角和的余弦公式 ： ｃｏｓ （ α ＋ β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ （ － β ） ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ （ － β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β －ｓｉｎ α ｓｉｎ β ． 这样 ， 我们就得到 两角和与差的余弦公式 ｃｏｓ （ α ＋ β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β －ｓｉｎ α ｓｉｎ β ， ｃｏｓ （ α － β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ β 简记作 8 例 １　 利用两角和与差的余弦公式 ， 求 ｃｏｓ７５° 和 ｃｏｓ１５° 的值 ． 解 　ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ （ ４５°＋３０° ） ＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０° ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ （ ４５°－３０° ） ＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０° 于是 　　　ｃｏｓ （ α － β ） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＋ｓｉｎ α ｓｉｎ β ）, 例 ３　 若 α 、 β 为锐角 ，求角 β 练习 ６． ２ （ １) １． 化简 ： （ １ ） ｃｏｓ （ ２２°－ x ） ｃｏｓ （ ２３°＋ x ） －ｓｉｎ （ ２２°－ x ） ｓｉｎ （ ２３°＋ x ）； 解：原式= cos(22°-x+23°+x) 课本练习 解 ３． 证明 ： 证明 ==1 题型分类讲解 16 17 18 19 20 21 21 23 1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定． 课堂小结 (1)D　[coseq \f(13π,12)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a