专题9.13 中心对称图形——平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题9.13 中心对称图形——平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇） 【苏科版】 【题型1 四边形中的多解问题】 1 【题型2 四边形中的动点问题】 3 【题型3 四边形中的最值问题】 4 【题型4 四边形中的折叠问题】 6 【题型5 矩形与等腰三角形】 8 【题型6 菱形中的全等三角形的构造】 10 【题型7 正方形中线段的和差倍分关系】 12 【题型8 坐标系中的四边形】 13 【题型9 四边形中存在性问题】 15 【题型1 四边形中的多解问题】 【例1】（2023春·辽宁鞍山·八年级校联考期中）在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点（不与点B重合），且，连接交延长线于点F．    ①； ②当为直角三角形时，； ③当为等腰三角形时，或者； ④连接，当时，平分． 以上结论正确的是 （填正确的序号）． 【变式1-2】（2023春·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，，，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F，与交于点M．给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填写正确的序号）．    【变式1-3】（2023春·广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③ ，④ .正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 四边形中的动点问题】 【例2】（2023春·广西钦州·八年级统考期中）如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．    (1)求证； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形： ②求证； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 【变式2-1】（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（） (1)的长为 ． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．【变式2-2】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．      (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在、运动的过程中，的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2023春·广西南宁·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，是的中点，是边上的一个动点(点不与点，重合)．将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为 ．      【题型3 四边形中的最值问题】 【例3】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在菱形中，，．E是对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边作菱形，其中，点G位于直线的上方，且，点P是的中点，连接，则线段的最小值是 ．    【变式3-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，正方形的边长为，点分别在正方形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值是 ．    【变式3-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．    (1)如图1，点P为射线上的动点，连接，若是等腰三角形，求的长度； (2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，点M是边上的动点，过点M作的垂线交直线于点N，求的最小值． 【变式3-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，矩形中，，E、F分别在边上，并且为等边三角形，则m的取值范围为 ，若点G是边上的一点，且，则随着m的变化，的最小值为 ．      【题型4 四边形中的折叠问题】 【例4】（2023春